南京大学 2022年强基第1题
📝 题目
$\mathrm{y}=\sqrt{15-3 x}+\sqrt{x-4}$ 值域。
💡 答案解析
【解析】首先给出定义域 $x \in[4,5]$ 由 Cauchy：$y^{2} \leq(3+1)((5-x)+(x-4))=4$ ，即 $y \leq 2, "="$ 当 $\displaystyle \frac{5-x}{3}=\frac{x-4}{1}$ ，即 $\displaystyle x=\frac{17}{4}$ ， 又 $y^{2} \geq(15-3 x)+(x-4)=-2 x+11 \geq 1, \Rightarrow y \geq 1$ ．当 $x=5$ 取＂$=$＂， 由连续，值域为 $[1,2]$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定定义域
由根号内非负得15-3x≥0且x-4≥0，解得x∈[4,5]。
公式：15-3x≥0, x-4≥0
提示：注意两个根号同时有意义。
步骤 2/6
目标：利用柯西不等式求最大值
应用柯西不等式：y²=(√(15-3x)+√(x-4))²≤(3+1)((5-x)+(x-4))=4，所以y≤2。
公式：(a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²)
提示：将15-3x写成3(5-x)，配凑系数。
步骤 3/6
目标：确定等号成立条件
等号成立当(5-x)/3=(x-4)/1，解得x=17/4，在定义域内，故最大值2可达。
公式：(5-x)/3=(x-4)/1
提示：验证x=17/4∈[4,5]。
步骤 4/6
目标：利用平方和求最小值
y²=(15-3x)+(x-4)+2√((15-3x)(x-4))≥(15-3x)+(x-4)=-2x+11，在[4,5]上递减，最小值为x=5时y²=1，即y≥1。
公式：y²≥(15-3x)+(x-4)
提示：忽略非负项得到下界。
步骤 5/6
目标：验证最小值可达
当x=5时，y=√(15-15)+√(5-4)=0+1=1，故最小值1可达。
提示：直接代入验证。
步骤 6/6
目标：由连续性得值域
函数在[4,5]上连续，值域为[最小值, 最大值]=[1,2]。
提示：连续函数在闭区间上值域为区间。
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