南京大学 2022年强基第4题
📝 题目
$a_{1}, x, y, a_{2}$ 成等差数列，$b_{1}, x, y, b_{2}$ 成等比数列，求 $\displaystyle \frac{\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}{b_{1} b_{2}}$ 的范围。
💡 答案解析
【解析】由条件 $\Leftrightarrow a_{1}+a_{2}=x+y, b_{1} b_{2}=x y$ ， $\displaystyle \frac{\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}{b_{1} b_{2}}=\frac{(x+y)^{2}}{x y} \in[4,+\infty)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：根据等差数列性质得出a1+a2与x,y的关系
由a1, x, y, a2成等差数列，根据等差中项性质，有x+y = a1+a2。
公式：a1 + a2 = x + y
提示：等差数列中，首末两项之和等于中间两项之和。
步骤 2/5
目标：根据等比数列性质得出b1b2与x,y的关系
由b1, x, y, b2成等比数列，根据等比中项性质，有xy = b1b2。
公式：b1 b2 = x y
提示：等比数列中，首末两项之积等于中间两项之积。
步骤 3/5
目标：将目标表达式用x,y表示
代入a1+a2 = x+y和b1b2 = xy，得 (a1+a2)^2/(b1b2) = (x+y)^2/(xy)。
公式：(a1+a2)^2/(b1b2) = (x+y)^2/(xy)
提示：注意符号，分母不为零。
步骤 4/5
目标：化简表达式并求范围
(x+y)^2/(xy) = x/y + y/x + 2。由基本不等式，x/y + y/x ≥ 2，当且仅当x=y时取等，故原式≥4。
公式：x/y + y/x ≥ 2
提示：基本不等式成立条件：x,y同号。
步骤 5/5
目标：得出最终范围
因此，原式的取值范围是[4, +∞)。
提示：注意等号成立条件。
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