南京大学 2022年强基第5题
📝 题目
$\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{a} \cos c-\mathrm{b} \cos ^{2} \mathrm{~A}=\mathrm{a} \sin \mathrm{Asin} \mathrm{B}-\mathrm{csin} \mathrm{A}$ ，求 $\tan \mathrm{A}$ 。
💡 答案解析
【解析】作正弦定理的等比替换有： $\sin A \cos C-\sin B \cos ^{2} A=\sin ^{2} A \sin B-\sin C \sin A \Leftrightarrow \sin A(\sin C+\cos C)=\sin B$,而 $\sin B=\sin C \cos A+\sin A \cos C$ ，且又 $\sin C \neq 0 \Rightarrow \sin A=\cos A \Rightarrow \tan A=1$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正弦定理将边转化为角
由正弦定理，a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC，代入原式得：sinA cosC - sinB cos²A = sin²A sinB - sinC sinA。
公式：a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
提示：注意正弦定理的等比替换，将边统一化为角的正弦。
步骤 2/5
目标：化简方程
移项并提取公因式sinA：sinA cosC + sinC sinA - sinB cos²A = sin²A sinB，即sinA(sinC+cosC) = sinB(cos²A+sin²A)=sinB。
公式：sinA(sinC+cosC)=sinB
提示：利用sin²A+cos²A=1简化。
步骤 3/5
目标：利用三角形内角和关系
在三角形中，sinB=sin(A+C)=sinA cosC+cosA sinC，代入上一步结果：sinA(sinC+cosC)=sinA cosC+cosA sinC。
公式：sinB=sin(A+C)=sinA cosC+cosA sinC
提示：注意三角形内角和为π，sinB=sin(A+C)。
步骤 4/5
目标：化简得到关于A的方程
两边消去sinA cosC，得sinA sinC = cosA sinC。由于sinC≠0（三角形内角正弦不为0），两边除以sinC得sinA=cosA。
公式：sinA=cosA
提示：注意sinC≠0，否则C=0或π，不构成三角形。
步骤 5/5
目标：求解tanA
由sinA=cosA得tanA=sinA/cosA=1。
公式：tanA=sinA/cosA=1
提示：A为三角形内角，故A=45°。
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