南京大学 2022年强基第6题

【解析】由条件知 $\displaystyle \cos \langle\vec{a} \cdot \vec{b}\rangle=\frac{6}{2 \sqrt{2} \times 3}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}$ 夹 $45^{\circ}$ 角。 以适当平移旋转，设 $\vec{b}=(3,0), \vec{a}=(2,2)$ ，令 $\vec{c}=(x, y)$ 以此计算固可，但可用几何方法解决：条件 $\displaystyle \Leftrightarrow(\vec{c}+\vec{a})\left(\vec{c}+\frac{\vec{b}}{2}\right)=0$ ． 以 $\displaystyle A, B, \frac{1}{2} B$ 记对应向量端点，则 $C$ 落在以 $\displaystyle -A,-\frac{B}{2}$ 为直径的圆上， $\displaystyle -A:(-2,-2),-\frac{B}{2}:\left(\frac{-3}{2}, 0\right)$ ， 圆心 $\displaystyle O:\left(-\frac{7}{4},-1\right)$ ，半径为 $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{17}}{4}:=r$ $|\vec{b}+\vec{c}|=\mid \vec{c}-(-\vec{b})$ ，为 $C$ 到 $-B$ 距离 其最小值为 $|\overrightarrow{(-B) O}|-r$ ．（易证 $-B$ 在圆外） $$ =\sqrt{1^{2}+\left(\frac{7}{4}-3\right)^{2}}-\frac{\sqrt{17}}{4}=\frac{\sqrt{39}-\sqrt{17}}{4} $$