南京大学 2022年强基第7题
📝 题目
在正四面体 $A-B C D$ 中，棱长为 $6, M$ 为 $B C D$ 面上一点，$|A M|=5$ ，求 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B C}$ 的最大值。
💡 答案解析
【解析】易算得 A 到底面中心 0 的距离为 $2 \sqrt{6}$ ，则 $|O M|=\sqrt{A M^{2}-A O^{2}}=1$ 将设问理解为：求 $|\overrightarrow{\mathrm{AM}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$ 的最大值 $|\overrightarrow{\mathrm{AM}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}|=\sqrt{(\overrightarrow{\mathrm{AO}})^{2}+(\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}})^{2}} \leq \sqrt{24+(6+1)^{2}}=\sqrt{73}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算正四面体的高和底面中心到顶点的距离
正四面体棱长为6，底面正三角形中心O到顶点距离为2√6，高AO=2√6。
公式：正四面体高h = √(2/3) * 棱长 = 2√6
提示：利用正四面体性质，高线经过底面中心。
步骤 2/5
目标：计算OM的长度
由AM=5，AO=2√6，在直角三角形AOM中，OM=√(AM²-AO²)=√(25-24)=1。
公式：OM = √(AM² - AO²)
提示：注意M在底面BCD上，O是底面中心。
步骤 3/5
目标：将目标表达式转化为向量形式
设O为底面中心，则AM = AO + OM，BC = -CB，所以AM·BC = (AO+OM)·(-CB) = -AO·CB - OM·CB。但更优方法：考虑|AM-BC|的最大值。
公式：AM·BC = (AO+OM)·(-CB)
提示：利用向量分解简化问题。
步骤 4/5
目标：利用向量模的不等式求最大值
|AM-BC| = |AO + OM + CB| ≤ |AO| + |OM+CB|，其中|AO|=2√6，|OM+CB|的最大值为|OM|+|CB|=1+6=7，所以|AM-BC|≤√(24+49)=√73。
公式：|a+b| ≤ |a| + |b|
提示：当OM与CB同向时取等。
步骤 5/5
目标：得出AM·BC的最大值
由AM·BC = (|AM-BC|² - |AM|² - |BC|²)/2，当|AM-BC|最大时AM·BC最大，最大值为(73-25-36)/2=6。
公式：a·b = (|a-b|² - |a|² - |b|²)/2
提示：注意符号，AM-BC的模最大时点积最大。
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