南京大学 2022年强基第9题
📝 题目
$\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\ldots+() \mathrm{x}_{6}+() \mathrm{x}_{7}=7$ ，求有多少组非负整数解。
💡 答案解析
【解析】以 $x_{6}$ 前系数为 $1, x_{7}$ 前系数为 2 为例： $x_{1}+\ldots+x_{6}+2 x_{7}=7$ 的非负整解组数 $=\sum_{x_{7}=0}^{3} \#\left\{x_{1}+\ldots+x_{6}=7-2 x_{7}\right\}$ 而有 $\sum_{i=1}^{n} x_{i}=m$ 非负整解，有 $\binom{m+n-1}{n-1}$ 组 结果为：$\binom{7+5}{5}+\binom{5+5}{5}+\binom{3+5}{5}+\binom{1+5}{5}=792+252+56+6=1106$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目并确定系数
题目中括号表示缺失系数，以x6系数为1、x7系数为2为例，方程变为x1+...+x6+2x7=7，求非负整数解组数。
提示：注意系数不同会影响解的数量，本题以特定系数为例。
步骤 2/5
目标：对x7进行枚举
由于2x7≤7，x7可取0,1,2,3。对每个x7，方程化为x1+...+x6=7-2x7。
公式：x7=0,1,2,3
提示：枚举时注意x7的范围由系数2和常数7决定。
步骤 3/5
目标：应用非负整数解公式
方程x1+...+x6=m的非负整数解组数为C(m+6-1,6-1)=C(m+5,5)。
公式：C(m+n-1, n-1)
提示：n=6，m=7-2x7。
步骤 4/5
目标：计算各x7对应的解数
x7=0时m=7，解数C(12,5)=792；x7=1时m=5，解数C(10,5)=252；x7=2时m=3，解数C(8,5)=56；x7=3时m=1，解数C(6,5)=6。
公式：C(12,5)=792, C(10,5)=252, C(8,5)=56, C(6,5)=6
提示：组合数计算可用公式或计算器。
步骤 5/5
目标：求和得到总组数
总组数=792+252+56+6=1106。
提示：注意不要遗漏任何x7的取值。
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