南京大学 2022年强基第1题
📝 题目
证明：当 n 为自然数且 $\mathrm{n}\gt 1$ 时，$\displaystyle \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n}\lt \mathrm{n}!\lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}$ 。
💡 答案解析
【解析】由 $\displaystyle (n-k) \cdot k \leq\left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}$ 对 $k=1 \cdots n$ 有 $\displaystyle \left(\frac{n+1}{2}\right)^{2 n} \geq(n!)$ ，即 $\displaystyle \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} \geq n!$ 对 $n$ 用归纳证明： $\displaystyle \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n}\lt n!$（事实上 3 可改进到 e ）， $\mathrm{n}=2$ 时对 $n-1$ 对，$n$ 时 $\displaystyle n!\gt \left(\frac{n}{3}\right)^{n-1} \cdot n$ ⇔ 证 $\displaystyle 3\gt \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}$ ，这是经典的重要极限（II），即右边单调上升到 e 。（可取对数求导）
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明右边不等式：n! < ((n+1)/2)^n
对任意k=1,...,n，有(n-k+1)k ≤ ((n+1)/2)^2，将k=1到n的乘积得到(n!)^2 ≤ ((n+1)/2)^(2n)，开方即得右边不等式。
公式：(n-k+1)k ≤ ((n+1)/2)^2
提示：利用算术-几何平均不等式或二次函数最值
步骤 2/6
目标：证明左边不等式：((n+1)/3)^n < n!
用数学归纳法。n=2时，左边=1，右边=2，成立。假设n-1时成立，即((n)/3)^(n-1) < (n-1)!，则n! = n*(n-1)! > n*((n)/3)^(n-1)。
公式：n! > n * (n/3)^(n-1)
提示：归纳假设
步骤 3/6
目标：将归纳步骤转化为证明3 > ((n+1)/n)^n
要证((n+1)/3)^n < n!，由归纳假设只需证((n+1)/3)^n ≤ n * (n/3)^(n-1)，化简得3 > ((n+1)/n)^n。
公式：((n+1)/3)^n < n * (n/3)^(n-1) ⇔ 3 > ((n+1)/n)^n
提示：两边同乘3^n并整理
步骤 4/6
目标：证明((n+1)/n)^n单调递增且极限为e
考虑函数f(x)=ln(1+1/x)/(1/x)，或直接证明数列a_n=(1+1/n)^n单调递增。常用方法：比较a_n和a_{n+1}，或取对数求导。
公式：a_n = (1+1/n)^n, a_n < e
提示：重要极限
步骤 5/6
目标：由单调性得((n+1)/n)^n < e < 3
因为((n+1)/n)^n单调递增趋于e，且e≈2.718<3，所以对任意自然数n，有((n+1)/n)^n < e < 3，从而3 > ((n+1)/n)^n成立。
公式：((n+1)/n)^n < e < 3
提示：e≈2.71828
步骤 6/6
目标：完成归纳，左边不等式得证
由第3步和第5步，归纳步骤成立，结合n=2时成立，由数学归纳法知对一切n>1，((n+1)/3)^n < n!成立。
提示：归纳法完成
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