南京大学 2022年强基第2题
📝 题目
$\displaystyle \alpha, \beta \in(0, \pi), \cos \alpha+\cos \beta-\cos (\alpha+\beta)=\frac{3}{2}$ ，求 $\alpha, \beta$ 所有取值。
💡 答案解析
【解析】很明显本题并无最大值，取 $x=n, y=-n, x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}=5 n^{2}$ ，可令 $n \rightarrow+\infty$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用和差化积公式化简方程
将cosα+cosβ化为2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)，方程变为2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) - cos(α+β) = 3/2。
公式：cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)
提示：注意角度范围在(0,π)，cos((α+β)/2)可能为负。
步骤 2/6
目标：利用二倍角公式将cos(α+β)表示为cos((α+β)/2)的函数
cos(α+β)=2cos²((α+β)/2)-1，代入得2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) - 2cos²((α+β)/2) + 1 = 3/2。
公式：cos(2θ)=2cos²θ-1
提示：移项后得到关于cos((α+β)/2)的二次方程。
步骤 3/6
目标：整理方程并配方
移项得2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) - 2cos²((α+β)/2) = 1/2，两边除以2得cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) - cos²((α+β)/2) = 1/4。
公式：无
提示：将左边视为关于cos((α+β)/2)的二次式。
步骤 4/6
目标：将方程视为关于cos((α+β)/2)的二次方程并利用判别式
设x=cos((α+β)/2)，y=cos((α-β)/2)，则方程化为x² - y x + 1/4=0。视为x的二次方程，有实根，判别式Δ=y²-1≥0，故|y|≥1。
公式：判别式Δ=b²-4ac
提示：由于y=cos((α-β)/2)∈[-1,1]，结合|y|≥1得y=±1。
步骤 5/6
目标：讨论y=1和y=-1两种情况
若y=1，则cos((α-β)/2)=1，得α=β；代入原方程得2cosα - cos2α=3/2，解得cosα=1/2，α=π/3。若y=-1，则cos((α-β)/2)=-1，得α-β=2π，但α,β∈(0,π)，不可能。
公式：cosθ=1 ⇒ θ=2kπ；cosθ=-1 ⇒ θ=(2k+1)π
提示：注意α,β范围限制。
步骤 6/6
目标：验证解并给出最终答案
当α=β=π/3时，左边=cos(π/3)+cos(π/3)-cos(2π/3)=1/2+1/2+1/2=3/2，成立。故唯一解为α=β=π/3。
公式：无
提示：检查是否满足范围(0,π)。
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