南京大学 2022年强基第3题

【解析】联立有 $x^{3}-a x=a x+2$ ，有三个互异实根。 令 $f(x)=x^{3}-2 a x-2, f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 a$ ，若 $a \leq 0$ 必有 $f \uparrow$ ，无三个实根，当 $a\gt 0$ ，有 $\displaystyle x_{1}=-\sqrt{\frac{2 a}{3}}, x_{2}=+\sqrt{\frac{2 a}{3}}$ ，由单调性分析： $f$ 有三个实根 $\Leftrightarrow f\left(x_{1}\right)\gt 0, f\left(x_{2}\right)\lt 0$ ， $\displaystyle f\left(x_{1}\right)=-\sqrt{\frac{2 a}{3}}\left(\frac{2 a}{3}-2 a\right)-2=\sqrt{\frac{2 a}{3}} \cdot \frac{4 a}{3}-2\gt 0$, $\displaystyle f\left(x_{2}\right)=\sqrt{\frac{2 a}{3}}\left(\frac{2 a}{3}-2 a\right)-2=-\sqrt{\frac{2 a}{3}} \cdot \frac{4 a}{3}-2\lt 0$（恒成立），得 $\displaystyle a\gt \frac{3}{2}$ 。