南京大学 2022年强基第1题
📝 题目
已知抛物线 $y^{2}=4 x, A=(2,1)$ ，直线 $l$ 过点 $A$ 交抛物线于 $B, C$ 两点，作 $B, C$ 处切线交于点 $P$ ，证明：$P$ 在定直线上。 
💡 答案解析
证明：设直线 $l: x=k(y-1)+2$ ，考虑联立方程 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 x \\ x=k(y-1)+2\end{array}\right.$ ，得 $y^{2}-4 k y+4 k-8=0$ ，两解 $y_{1}, y_{2}$ 满足 $y_{1}+y_{2}=4 k, y_{1} y_{2}=4 k-8$ ，记 $B=\left(y_{1}^{2} / 4, y_{1}\right), C=\left(y_{2}^{2} / 4, y_{2}\right)$ ，则 $B$ 处切线为 $\displaystyle x=\frac{1}{2} y_{1}\left(y-y_{1}\right)+\frac{y_{1}^{2}}{4} ; C$ 处切线为 $\displaystyle x=\frac{1}{2} y_{2}\left(y-y_{2}\right)+\frac{y_{2}^{2}}{4}$ ，可求出两条切线的交点 $\displaystyle P=\left(\frac{y_{1} y_{2}}{4}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=(k-2,2 k)$ ，即 $P$ 在定直线 $2 x-y+4=0$ 上。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设直线l的方程
由于直线l过点A(2,1)，且不与x轴垂直，设其方程为x = k(y-1) + 2。
公式：x = k(y-1) + 2
提示：设直线方程时，考虑用x关于y的形式，便于与抛物线联立。
步骤 2/7
目标：联立直线与抛物线方程
将x = k(y-1) + 2代入y² = 4x，得y² = 4[k(y-1)+2]，整理得y² - 4ky + 4k - 8 = 0。
公式：y² - 4ky + 4k - 8 = 0
提示：注意化简时合并同类项。
步骤 3/7
目标：利用韦达定理得到交点纵坐标关系
设B、C的纵坐标为y₁、y₂，则y₁ + y₂ = 4k，y₁y₂ = 4k - 8。
公式：y₁ + y₂ = 4k, y₁y₂ = 4k - 8
提示：韦达定理直接由二次方程系数得出。
步骤 4/7
目标：写出B、C处切线方程
抛物线y²=4x上点(x₀,y₀)的切线为yy₀=2(x+x₀)。对B(y₁²/4, y₁)，切线为y y₁ = 2(x + y₁²/4)；同理C处切线为y y₂ = 2(x + y₂²/4)。
公式：y y₁ = 2(x + y₁²/4)
提示：利用抛物线切线公式，注意点坐标。
步骤 5/7
目标：求两条切线的交点P
联立两切线方程，相减得y(y₁ - y₂) = (y₁² - y₂²)/2，即y = (y₁ + y₂)/2。代入得x = y₁y₂/4。
公式：P = (y₁y₂/4, (y₁+y₂)/2)
提示：利用平方差公式简化。
步骤 6/7
目标：将韦达定理结果代入P坐标
由y₁+y₂=4k，y₁y₂=4k-8，得P = ((4k-8)/4, 4k/2) = (k-2, 2k)。
公式：P = (k-2, 2k)
提示：代入时注意约分。
步骤 7/7
目标：消去参数k，得到P的轨迹方程
由P坐标x=k-2，y=2k，消去k得y=2(x+2)，即2x - y + 4 = 0。所以P在定直线2x - y + 4 = 0上。
公式：2x - y + 4 = 0
提示：参数消去法：用x表示k代入y表达式。
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