南京大学 2022年强基第2题
📝 题目
已知 $\displaystyle f\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)+x f\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)=1$ ，求 $f(x)$ 的表达式。
💡 答案解析
解：注意 $\displaystyle \left|\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right| \leq 1,\left|\frac{2 x}{1+x^{2}}\right| \leq 1$ ，即 $f$ 的定义域为 $[-1,1]$ ，考虑万能变换 $\displaystyle x=\tan \frac{t}{2}$ ，则 $\displaystyle \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}=\cos t, \frac{2 x}{1+x^{2}}=\sin t$ ，条件即 $\displaystyle f(\cos t)+\tan \left(\frac{t}{2}\right) f(\sin t)=1$ ，再令 $\displaystyle t \mapsto \frac{\pi}{2}-t$ ，则条件化为 $\displaystyle f(\sin t)+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\right) f(\cos t)=1$ ，其中 $\displaystyle \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\right)=\frac{1-\tan \left(\frac{t}{2}\right)}{1+\tan \left(\frac{t}{2}\right)}$ ，联立此二式解得 $\displaystyle f(\cos t)=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}=\cos t, f(\sin t)=\frac{2 x}{1+x^{2}}=\sin t$ ，故 $f(x)=x, \forall x \in[-1,1]$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定函数定义域
注意到对于任意实数x，有|(1-x²)/(1+x²)|≤1，|2x/(1+x²)|≤1，因此f的定义域为[-1,1]。
提示：利用基本不等式或三角换元可证
步骤 2/5
目标：引入三角换元
令x=tan(t/2)，则(1-x²)/(1+x²)=cos t，2x/(1+x²)=sin t，原方程化为f(cos t)+tan(t/2)f(sin t)=1。
公式：x=tan(t/2), cos t=(1-x²)/(1+x²), sin t=2x/(1+x²)
提示：万能公式
步骤 3/5
目标：构造对称方程
将t替换为π/2-t，得f(sin t)+tan(π/4-t/2)f(cos t)=1，其中tan(π/4-t/2)=(1-tan(t/2))/(1+tan(t/2))。
公式：tan(π/4-t/2)=(1-tan(t/2))/(1+tan(t/2))
提示：利用诱导公式
步骤 4/5
目标：联立方程求解
设a=f(cos t)，b=f(sin t)，u=tan(t/2)，则方程组为：a+u b=1，b+((1-u)/(1+u))a=1。解此方程组得a=(1-u)/(1+u²)，b=(1+u)/(1+u²)。
公式：a+u b=1, b+((1-u)/(1+u))a=1
提示：消元法
步骤 5/5
目标：回代得到f(x)表达式
由cos t=(1-u²)/(1+u²)，sin t=2u/(1+u²)，且a=f(cos t)，b=f(sin t)，得f((1-u²)/(1+u²))=(1-u)/(1+u²)，f(2u/(1+u²))=(1+u)/(1+u²)。令x=(1-u²)/(1+u²)，则u=√((1-x)/(1+x))，代入得f(x)=√((1-x)/(2(1+x)))。
公式：f(x)=√((1-x)/(2(1+x)))
提示：注意定义域x∈[-1,1]
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