南京大学 2021年强基第1题
📝 题目
求 $M=[\sqrt[3]{1}]+[\sqrt[3]{2}]+\cdots+[\sqrt[3]{2021}]$ 。
💡 答案解析
解析：当 $k^{3} \leq n\lt (k+1)^{3}$ ，有 $[\sqrt[3]{n}]=k$ ，又 $12^{3}\lt 2021\lt 13^{3}$ ，所以 $M=\sum_{k=1}^{11} k\left[(k+1)^{3}-k^{3}\right]+12 \times\left(2021-12^{3}+1\right)=18180$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解取整函数性质
对于整数k，当k³ ≤ n < (k+1)³时，有[³√n]=k。即n在区间[k³, (k+1)³-1]内时，立方根取整为k。
公式：k³ ≤ n < (k+1)³ ⇒ [³√n]=k
提示：注意区间左闭右开，n为整数时右端点为(k+1)³-1。
步骤 2/5
目标：确定k的取值范围
计算12³=1728，13³=2197，2021介于1728和2197之间，所以最大k=12。k从1到11时，区间完整；k=12时区间不完整。
公式：12³=1728, 13³=2197, 1728<2021<2197
提示：找到最大的k使得k³≤2021，即k=12。
步骤 3/5
目标：计算完整区间贡献
对于k=1到11，每个k对应的n有(k+1)³-k³个，每个贡献k，总和为∑_{k=1}^{11} k[(k+1)³-k³]。
公式：∑_{k=1}^{11} k[(k+1)³-k³]
提示：区间长度公式：(k+1)³-k³=3k²+3k+1。
步骤 4/5
目标：计算最后一个区间贡献
k=12时，n从12³=1728到2021，共2021-1728+1=294个数，每个贡献12，总和为12×294。
公式：12×(2021-12³+1)=12×294
提示：注意加1是因为包含端点。
步骤 5/5
目标：求和得出最终结果
计算∑_{k=1}^{11} k(3k²+3k+1)=∑(3k³+3k²+k)=3∑k³+3∑k²+∑k，代入公式得3×(11²×12²/4)+3×(11×12×23/6)+(11×12/2)=3×4356+3×506+66=13068+1518+66=14652，再加12×294=3528，总和14652+3528=18180。
公式：M=14652+3528=18180
提示：利用平方和、立方和公式简化计算。
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