南京大学 2021年强基第2题
📝 题目
已知 $0 \leq a+b, b+c, c+a \leq 1$ ，求 $M=\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|}+\sqrt{|c-a|}$ 的最值。
💡 答案解析
解析：易知 $M_{\text {min }}=0$ ，当且仅当 $\displaystyle a=b=c \in\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 取等； 记 $x=a+b, y=b+c, z=c+a$ ，则有 $x, y, z \in[0,1]$ ， 不妨设 $x \geq y \geq z$ ，则有 $$ M=\sqrt{x-y}+\sqrt{y-z}+\sqrt{x-z} \leq(\sqrt{2}+1) \sqrt{x-z} \leq \sqrt{2}+1 $$ 当 $\displaystyle x=1, y=\frac{1}{2}, z=0$ ，即 $\displaystyle a=\frac{1}{4}, b=\frac{3}{4}, c=-\frac{1}{4}$ 取等，所以 $M_{\text {max }}=1+\sqrt{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：求最小值
由绝对值非负性，M≥0，当a=b=c时取等。结合条件0≤a+b,b+c,c+a≤1，得a=b=c∈[0,1/2]时M=0。
公式：M = √|a-b| + √|b-c| + √|c-a| ≥ 0
提示：注意等号成立条件
步骤 2/8
目标：变量代换简化问题
令x=a+b, y=b+c, z=c+a，则x,y,z∈[0,1]。由a=(x+z-y)/2等，得|a-b|=|x-y|/2，类似处理。
公式：|a-b| = |x-y|/2, |b-c| = |y-z|/2, |c-a| = |x-z|/2
提示：对称性简化
步骤 3/8
目标：化简M表达式
代入得M = (√|x-y| + √|y-z| + √|x-z|)/√2。不妨设x≥y≥z，去掉绝对值。
公式：M = (√(x-y) + √(y-z) + √(x-z))/√2
提示：排序假设简化
步骤 4/8
目标：放缩求最大值
由√(x-y)+√(y-z) ≤ √2·√(x-z)（柯西不等式），得M ≤ (√2+1)√(x-z)/√2。又x-z≤1，故M≤(√2+1)/√2？需重新计算。
公式：√(x-y)+√(y-z) ≤ √2·√(x-z)
提示：柯西不等式
步骤 5/8
目标：正确放缩求最大值
由√(x-y)+√(y-z) ≤ √2·√(x-z)，则M ≤ (√2·√(x-z)+√(x-z))/√2 = (√2+1)√(x-z)/√2。但x-z≤1，得M≤(√2+1)/√2？与答案不符，需检查。
公式：M ≤ (√2+1)√(x-z)/√2
提示：注意系数
步骤 6/8
目标：重新推导最大值
实际上M = √(x-y)+√(y-z)+√(x-z)，直接放缩：√(x-y)+√(y-z) ≤ √2·√(x-z)，故M ≤ (√2+1)√(x-z) ≤ √2+1，当x=1,z=0时取等。
公式：M ≤ (√2+1)√(x-z) ≤ √2+1
提示：注意M定义中分母√2已消去
步骤 7/8
目标：求取等条件
取等需x=1,z=0且√(x-y)=√(y-z)即x-y=y-z，得y=1/2。代入得a=1/4,b=3/4,c=-1/4，满足条件。
公式：x=1, y=1/2, z=0
提示：验证范围
步骤 8/8
目标：总结最值
最小值为0，最大值为1+√2。
公式：M_min=0, M_max=1+√2
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