南京大学 2021年强基第3题

【解析】换元：设 $y_{i}=1-x_{i}(i=1,2,3)$ ，则原式转化为 $\displaystyle \sum_{c y c} \frac{y_{1}}{1+y_{2}+y_{3}}+\prod_{c y c}\left(1-y_{1}\right) \leq 1$ ，其中 $c y c$表示轮换求和（乘积）。注意到 $\displaystyle 1=\sum_{c y c} \frac{y_{1}}{y_{1}+y_{2}+y_{3}}$ ，所以原式等价于 $\displaystyle \prod_{c y c}\left(1-y_{1}\right) \leq \sum_{c y c} \frac{y_{1}\left(1-y_{1}\right)}{\left(1+y_{2}+y_{3}\right)\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)}$ 。而再利用恒等变形 $\displaystyle \prod_{c y c}\left(1-y_{1}\right)=\left(\sum_{c y c} \frac{y_{1}}{y_{1}+y_{2}+y_{3}}\right) \cdot \prod_{c y c}\left(1-y_{1}\right)=\sum_{c y c} \frac{y_{1}\left(1-y_{1}\right)}{y_{1}+y_{2}+y_{3}}\left(1-y_{2}\right)\left(1-y_{3}\right)$因为 $0 \leq y_{i} \leq 1(i=1,2,3)$ ，由均值不等式 $\displaystyle \left(1-y_{2}\right)\left(1-y_{3}\right)\left(1+y_{2}+y_{3}\right) \leq\left(\frac{1-y_{2}+1-y_{3}+1+y_{2}+y_{3}}{3}\right)^{3}=1$既 $\displaystyle \left(1-y_{2}\right)\left(1-y_{3}\right) \leq \frac{1}{1+y_{2}+y_{3}}$ ，对比等价不等式两端即知原式证毕。