南京大学 2021年强基第1题
📝 题目
设 $x, y, z \in[0,1]$ ，求证：$\displaystyle \frac{1-x}{3-y-z}+\frac{1-y}{3-z-x}+\frac{1-z}{3-x-y} \leq 1-x y z$ 。
💡 答案解析
解析：不妨设 $x \geq y \geq z$ ，则有 $$ \sum_{c y c} \frac{1-x}{3-y-z} \leq \frac{3-x-y-z}{3-x-y}=1-\frac{z}{3-x-y} $$ 则只需证 $$ x y z \leq \frac{z}{3-x-y} $$ 即证 $$ z[x y(3-x-y)-1] \leq 0 $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用对称性假设变量大小关系
由于不等式对称，不妨设 x ≥ y ≥ z，简化后续放缩方向。
提示：对称性假设可减少分类讨论，通常设最大或最小变量。
步骤 2/7
目标：放缩分母以统一分母
由 x ≥ y ≥ z 得 3-y-z ≥ 3-x-z ≥ 3-x-y，故每个分式分母可放缩为 3-x-y，分子不变，从而左边 ≤ (1-x+1-y+1-z)/(3-x-y) = (3-x-y-z)/(3-x-y)。
公式：∑ (1-x)/(3-y-z) ≤ (3-x-y-z)/(3-x-y)
提示：分母越大，分式越小，利用最大分母放缩。
步骤 3/7
目标：化简放缩后的表达式
将 (3-x-y-z)/(3-x-y) 拆分为 1 - z/(3-x-y)，即左边 ≤ 1 - z/(3-x-y)。
公式：(3-x-y-z)/(3-x-y) = 1 - z/(3-x-y)
提示：拆分后便于与右边比较。
步骤 4/7
目标：转化为等价不等式
要证原不等式，只需证 1 - z/(3-x-y) ≤ 1 - xyz，即 -z/(3-x-y) ≤ -xyz，两边乘以-1得 z/(3-x-y) ≥ xyz。
公式：z/(3-x-y) ≥ xyz
提示：注意不等号方向变化。
步骤 5/7
目标：整理为乘积形式
将 z/(3-x-y) ≥ xyz 两边乘以正数 (3-x-y) 得 z ≥ xyz(3-x-y)，移项得 z[1 - xy(3-x-y)] ≥ 0，即 z[xy(3-x-y) - 1] ≤ 0。
公式：z[xy(3-x-y) - 1] ≤ 0
提示：由于 z ≥ 0，只需证 xy(3-x-y) - 1 ≤ 0。
步骤 6/7
目标：证明 xy(3-x-y) ≤ 1
由 x,y ∈ [0,1] 得 xy ≤ 1，且 3-x-y ≥ 1，但需严格证明。考虑函数 f(x,y)=xy(3-x-y)，在 [0,1]^2 上最大值在 x=y=1 时取得，f(1,1)=1，故 xy(3-x-y) ≤ 1。
公式：xy(3-x-y) ≤ 1
提示：利用二元函数求最值或基本不等式。
步骤 7/7
目标：验证等号成立条件
等号成立当 x=y=z=1 或 x=y=1, z=0 及其轮换。
提示：检查放缩过程中等号成立条件是否一致。
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