南京大学 2021年强基第2题
📝 题目
已知正数 $a, b$ 满足：方程 $x^{2}+a x+15 b=0$ 和 $x^{2}+15 b x+a=0$ 均有实根，求 $\displaystyle \frac{a^{2}}{4}+9 b^{2}$ 的最小值。 （13分）
💡 答案解析
【解析】分别计算两个方程的判别式可知 $a^{2} \geq 60 b$ 及 $225 b^{2} \geq 4 a$ ，从而我们得知： $\displaystyle \frac{(15 b)^{4}}{16} \geq a^{2} \geq 60 b \Rightarrow(15 b)^{3} \geq 64 \Rightarrow b \geq \frac{4}{15}$ ，进而 $\displaystyle a^{2} \geq 60 b \geq 60 \cdot \frac{4}{15}=16$ ，代入 $\displaystyle b=\frac{4}{15}, a=4$ 知条件成立，故所求最小值为 $\displaystyle \frac{16}{4}+9 \cdot \frac{16}{225}=\frac{1044}{225}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：根据方程有实根，写出判别式条件
方程x²+ax+15b=0有实根，判别式Δ₁=a²-60b≥0，得a²≥60b。方程x²+15bx+a=0有实根，判别式Δ₂=225b²-4a≥0，得225b²≥4a。
公式：Δ₁=a²-60b≥0, Δ₂=225b²-4a≥0
提示：注意两个方程分别对应不同的判别式。
步骤 2/5
目标：从条件消去a，得到b的不等式
由225b²≥4a得a≤(225b²)/4，结合a²≥60b，代入得((225b²)/4)²≥60b，即(225²b⁴)/16≥60b，化简得(15b)³≥64。
公式：((225b²)/4)²≥60b ⇒ (15b)³≥64
提示：注意a为正数，不等式方向不变。
步骤 3/5
目标：解出b的最小值
由(15b)³≥64得15b≥4，即b≥4/15。因此b的最小值为4/15。
公式：b≥4/15
提示：立方根运算，注意正数。
步骤 4/5
目标：利用b的最小值求a的最小值
由a²≥60b且b≥4/15得a²≥60×(4/15)=16，所以a≥4。当a=4,b=4/15时，验证条件成立。
公式：a²≥16 ⇒ a≥4
提示：a为正数，取等时需验证判别式。
步骤 5/5
目标：计算目标表达式的最小值
代入a=4,b=4/15，得a²/4+9b²=16/4+9×(16/225)=4+144/225=1044/225。
公式：a²/4+9b²=4+144/225=1044/225
提示：注意分数化简。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。