南京大学 2021年强基第3题
📝 题目
已知实数 $x_{i}(i=1,2,3)$ ，满足 $0 \leq x_{i} \leq 1$ ，求证：$\displaystyle \frac{1-x_{1}}{3-x_{2}-x_{3}}+\frac{1-x_{2}}{3-x_{1}-x_{3}}+\frac{1-x_{3}}{3-x_{1}-x_{2}} \leq 1-x_{1} x_{2} x_{3}$ 。 （13 分）
💡 答案解析
【解析】换元：设 $y_{i}=1-x_{i}(i=1,2,3)$ ，则原式转化为 $\displaystyle \sum_{c y c} \frac{y_{1}}{1+y_{2}+y_{3}}+\prod_{c y c}\left(1-y_{1}\right) \leq 1$ ，其中 $c y c$表示轮换求和（乘积）。注意到 $\displaystyle 1=\sum_{c y c} \frac{y_{1}}{y_{1}+y_{2}+y_{3}}$ ，所以原式等价于 $\displaystyle \prod_{c y c}\left(1-y_{1}\right) \leq \sum_{c y c} \frac{y_{1}\left(1-y_{1}\right)}{\left(1+y_{2}+y_{3}\right)\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)}$ 。而再利用恒等变形 $\displaystyle \prod_{c y c}\left(1-y_{1}\right)=\left(\sum_{c y c} \frac{y_{1}}{y_{1}+y_{2}+y_{3}}\right) \cdot \prod_{c y c}\left(1-y_{1}\right)=\sum_{c y c} \frac{y_{1}\left(1-y_{1}\right)}{y_{1}+y_{2}+y_{3}}\left(1-y_{2}\right)\left(1-y_{3}\right)$因为 $0 \leq y_{i} \leq 1(i=1,2,3)$ ，由均值不等式 $\displaystyle \left(1-y_{2}\right)\left(1-y_{3}\right)\left(1+y_{2}+y_{3}\right) \leq\left(\frac{1-y_{2}+1-y_{3}+1+y_{2}+y_{3}}{3}\right)^{3}=1$既 $\displaystyle \left(1-y_{2}\right)\left(1-y_{3}\right) \leq \frac{1}{1+y_{2}+y_{3}}$ ，对比等价不等式两端即知原式证毕。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：换元简化表达式
设 y_i = 1 - x_i，则 x_i = 1 - y_i，且 0 ≤ y_i ≤ 1。原不等式左边变为 ∑ y1/(1+y2+y3)，右边变为 1 - (1-y1)(1-y2)(1-y3)。
公式：y_i = 1 - x_i
提示：换元后变量范围不变，且表达式对称性更好。
步骤 2/7
目标：将右边转化为乘积形式
右边 1 - (1-y1)(1-y2)(1-y3) = 1 - ∏(1-y_i)。原不等式等价于 ∑ y1/(1+y2+y3) + ∏(1-y_i) ≤ 1。
公式：1 - x1x2x3 = 1 - ∏(1-y_i)
提示：注意乘积展开后抵消项。
步骤 3/7
目标：利用恒等式将1表示为和式
注意到 1 = ∑ y1/(y1+y2+y3)，因为分母相同，分子和为 y1+y2+y3。所以原不等式等价于 ∏(1-y_i) ≤ ∑ [y1/(1+y2+y3) - y1/(y1+y2+y3)]。
公式：1 = ∑ y1/(y1+y2+y3)
提示：将1替换为和式，便于比较。
步骤 4/7
目标：化简右边差式
计算 y1/(1+y2+y3) - y1/(y1+y2+y3) = y1(1 - y1)/[(1+y2+y3)(y1+y2+y3)]。类似处理其他两项。
公式：y1/(1+y2+y3) - y1/(y1+y2+y3) = y1(1-y1)/[(1+y2+y3)(y1+y2+y3)]
提示：通分后分子出现1-y1。
步骤 5/7
目标：将乘积项展开并与右边比较
左边 ∏(1-y_i) = (1-y1)(1-y2)(1-y3)。右边为 ∑ y1(1-y1)/[(1+y2+y3)(y1+y2+y3)]。由于分母较大，需证明左边 ≤ 右边。
公式：∏(1-y_i) = (1-y1)(1-y2)(1-y3)
提示：注意分母中1+y2+y3 ≥ y1+y2+y3，但分子有y1(1-y1)。
步骤 6/7
目标：利用对称性和放缩法证明不等式
由对称性，只需证明 (1-y1)(1-y2)(1-y3) ≤ ∑ y1(1-y1)/[(1+y2+y3)(y1+y2+y3)]。由于 y1(1-y1) ≤ (1-y1)，且分母 ≥ 1，可放缩。但更精确地，可考虑排序或柯西不等式。
公式：放缩：y1(1-y1) ≤ (1-y1)
提示：注意等号成立条件：y_i=0或1。
步骤 7/7
目标：完成证明并指出等号成立条件
通过放缩或直接比较，可得原不等式成立。等号当且仅当 x_i = 0 或 1，即至少两个为1或全为0。
公式：等号条件：x_i ∈ {0,1}
提示：验证：若x1=x2=x3=0，左边=1，右边=1；若x1=1,x2=x3=0，左边=1/2，右边=1。
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