南京大学 2021年强基第4题

【解析】（1）假设 $f(x)=g(x) h(x)$ 其中 $g, h$ 为整系数多项式且 $\operatorname{deg} g, \operatorname{deg} h\lt n$ ，注意到 $f\left(a_{i}\right)=1$ ，所以 $g\left(a_{i}\right) \in\{1,-1\}(i=1,2, \cdots, n)$ 。又由整系数多项式的性质知对于任意的 $1 \leq i\lt j \leq n$ ，我们有 $\left(a_{i}-a_{j}\right) \mid\left(g\left(a_{i}\right)-g\left(a_{j}\right)\right)$ 。不妨设 $a_{1}\lt a_{2}\lt \cdots\lt a_{n}$ ，则当 $j-i \geq 3$ 时，有 $a_{j}-a_{i} \geq 3$ ；但 $\left|g\left(a_{i}\right)-g\left(a_{j}\right)\right| \leq 2$ ，故 $g\left(a_{i}\right)=g\left(a_{j}\right)$ 。由此当 $n \geq 6$ 时， $g\left(a_{1}\right)=g\left(a_{4}\right)=g\left(a_{5}\right)=\cdots=g\left(a_{n}\right)$ 且 $g\left(a_{n}\right)=g\left(a_{3}\right)=g\left(a_{2}\right)$ ，故方程 $g(x)=g\left(a_{1}\right)$ 至少有 $n\gt \operatorname{deg} g$ 个根，由代数基本定理知 $g(x) \equiv g\left(a_{1}\right) \in\{-1,1\}$ ，从而 $\operatorname{deg} h=n$ ，矛盾！故不存在非平凡的整系数多项式乘积分解。 （2）$n=2$ 时，$f(x)=x(x+2)+1=(x+1)^{2}$ ；$n=4$ 时， $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)+1=\left(x^{2}+3 x+1\right)^{2}$ 。