东南大学 2022年强基第1题
📝 题目
设 $z=a+b i, z^{3}=11+2 i$ ，求 $a+b=$ ？
💡 答案解析
证明：计算 $11+2 i=z^{3}=(a+b i)^{3}=a\left(a^{2}-3 b^{2}\right)+b\left(3 a^{2}-b^{2}\right) i$ ，即 $11=a\left(a^{2}-3 b^{2}\right), 2=b\left(3 a^{2}-b^{2}\right)$ ，两式相加得 $13=(a-b)\left(a^{2}+4 a b+b^{2}\right)=(a-b)\left(3\left(a^{2}+b^{2}\right)-2(a-b)^{2}\right) ;$ 两式相减得 $9=(a+b)\left(a^{2}-4 a b+b^{2}\right)=(a+b)\left(3\left(a^{2}+b^{2}\right)-2(a+b)^{2}\right)$ 。 由于 ${\sqrt{a^{2}+b^{2}}}^{3}=|z|^{3}=|11+2 i|=\sqrt{125}$ ，则 $a^{2}+b^{2}=5$ ，代入上式知 $a-b=1$ 或 $\displaystyle -1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ ； $a+b=-3$ 或 $\displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：展开复数立方
设 z = a + bi，计算 z^3 = (a+bi)^3 = a(a^2-3b^2) + b(3a^2-b^2)i，与已知 11+2i 比较得方程组。
公式：(a+bi)^3 = a(a^2-3b^2) + b(3a^2-b^2)i
提示：注意虚数单位 i 的平方为 -1。
步骤 2/6
目标：建立方程组
由实部相等得 11 = a(a^2-3b^2)，虚部相等得 2 = b(3a^2-b^2)。
公式：11 = a(a^2-3b^2), 2 = b(3a^2-b^2)
提示：分别对应实部和虚部。
步骤 3/6
目标：两式相加
将两式相加：11+2 = a(a^2-3b^2)+b(3a^2-b^2) = (a-b)(a^2+4ab+b^2)。
公式：13 = (a-b)(a^2+4ab+b^2)
提示：因式分解得到 (a-b) 因子。
步骤 4/6
目标：两式相减
将两式相减：11-2 = a(a^2-3b^2)-b(3a^2-b^2) = (a+b)(a^2-4ab+b^2)。
公式：9 = (a+b)(a^2-4ab+b^2)
提示：因式分解得到 (a+b) 因子。
步骤 5/6
目标：计算模长
由 |z|^3 = |11+2i| = √(11^2+2^2) = √125 = 5√5，得 |z| = √5，即 a^2+b^2 = 5。
公式：|z|^3 = |11+2i|, a^2+b^2 = 5
提示：复数模的立方等于立方后的模。
步骤 6/6
目标：代入求解 a-b 和 a+b
将 a^2+b^2=5 代入相加和相减的表达式，得到关于 a-b 和 a+b 的方程，解得 a-b=1 或 -1±√3/2，a+b=-3 或 (3±√3)/2。
公式：13 = (a-b)(15-2(a-b)^2), 9 = (a+b)(15-2(a+b)^2)
提示：注意 a,b 为实数，需验证解的合理性。
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