东南大学 2022年强基第2题
📝 题目
$2^{x}+3^{y}=4^{z}$ 的整数解 $(x, y, z)$ 有多少对 。 A． 1 B． 2 C． 3 D．无穷对
💡 答案解析
A 解：当 $y\lt 0$ 时，无论 $x, z$ 取何整数值，左式化为既约分数后分母是 3 的倍数，但右式不是，故此时无解；当 $y \geq 0$ 时，由于 $4^{z}=2^{x}+3^{y} \geq 3^{0}=1$ ，则 $z \geq 0$ 。 若 $x\lt 0$ ，则左式化为既约分数后分母是 2 的倍数，但右式不是，故此时无解； 若 $x \geq 0$ ，则 $3^{y}=4^{z}-2^{x}$ ，注意 $3^{y}$ 总是正奇数，而 $4^{z}-2^{x}$ 为正奇数当且仅当 $z \geq 1, x=0$ ，于是原式化为 $3^{y}=4^{z}-1=\left(2^{z}+1\right)\left(2^{z}-1\right)$ ，则 $\left(2^{z}+1\right),\left(2^{z}-1\right)$ 均为 3 的非负幂次，但 $\left(2^{z}+1\right)-\left(2^{z}-1\right)=2$ ，故 $\left(2^{z}+1\right),\left(2^{z}-1\right) \bmod 3$ 不同余，唯一的可能性是 $\left(2^{z}+1\right)=3,\left(2^{z}-1\right)=1$ ，此时 $z=1$ 。 综上，上述方程的整数解仅有 $(x, y, z)=(0,1,1)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析y<0的情况
当y<0时，左边化为既约分数后分母是3的倍数，右边4^z分母为1，矛盾，故无解。
提示：考虑分母的奇偶性
步骤 2/6
目标：分析y≥0且x<0的情况
当y≥0时，由4^z≥1得z≥0。若x<0，左边化为既约分数后分母是2的倍数，右边不是，故无解。
提示：考虑分母的奇偶性
步骤 3/6
目标：分析x≥0且y≥0的情况
此时3^y=4^z-2^x。3^y为正奇数，故4^z-2^x为正奇数，这要求z≥1且x=0。
公式：3^y=4^z-2^x
提示：奇偶性分析
步骤 4/6
目标：化简方程
代入x=0得3^y=4^z-1=(2^z+1)(2^z-1)。两因子均为3的幂次，且相差2。
公式：3^y=(2^z+1)(2^z-1)
提示：因式分解
步骤 5/6
目标：求解z和y
两因子相差2，模3不同余，唯一可能为2^z+1=3，2^z-1=1，解得z=1，进而y=1。
提示：利用因子性质
步骤 6/6
目标：总结解的情况
唯一整数解为(x,y,z)=(0,1,1)，共1对。
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