东南大学 2022年强基第3题
📝 题目
设矩形 $A B C D$ 中有一点 $P$ ，满足 $P A=\sqrt{5}, P B=\sqrt{13}, P C=\sqrt{39}$ ，则 $P D=$ ？
💡 答案解析
解：设在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标为 $A=(0,0), B=(a, 0), C=(a, b), D=(0, b), P$点坐标为 $(x, y)$ ，则由条件知 $|P A|^{2}=x^{2}+y^{2}=5,|P B|^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}=13,|P C|^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=39$ ，则 $|P D|^{2}=x^{2}+(y-b)^{2}=|P A|^{2}+|P C|^{2}-|P B|^{2}=31$ ，即 $P D=\sqrt{31}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立坐标系，设出各点坐标
设矩形ABCD的顶点坐标为A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b)，设P点坐标为(x,y)。
提示：利用矩形顶点坐标简化计算
步骤 2/4
目标：根据已知距离列出方程
由PA=√5得x²+y²=5；由PB=√13得(x-a)²+y²=13；由PC=√39得(x-a)²+(y-b)²=39。
公式：距离公式：d²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
提示：注意平方后计算
步骤 3/4
目标：推导PD的平方表达式
PD²=x²+(y-b)²。观察发现：PA²+PC²-PB² = (x²+y²)+[(x-a)²+(y-b)²]-[(x-a)²+y²] = x²+(y-b)² = PD²。
公式：PD² = PA² + PC² - PB²
提示：利用代数恒等式简化
步骤 4/4
目标：代入数值计算PD
PA²=5, PB²=13, PC²=39，所以PD²=5+39-13=31，故PD=√31。
公式：PD = √(PA²+PC²-PB²)
提示：注意开方取正值
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