东南大学 2022年强基第4题

解：由条件 $3 \overrightarrow{O A}+4 \overrightarrow{O B}+5 \overrightarrow{O C}=0$ ，两端同时与 $\overrightarrow{O A}$ 做数量积，得 $3|\overrightarrow{O A}|^{2}+4 \overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O A}+5 \overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O A}=\overrightarrow{0}$ ，由于 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆心，则 $|\overrightarrow{O A}|^{2}=R^{2}, \overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O A}=R^{2} \cos (2 C), \overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O A}=R^{2} \cos (2 B)$ ，于是上式化为 $3+4 \cos (2 C)+5 \cos (2 B)=0$ ．同理，两端同时与 $\overrightarrow{O B}$ 做数量积，得 $3 \cos (2 C)+4+5 \cos (2 A)=0$ ；两端同时与 $\overrightarrow{O C}$ 做数量积，得 $3 \cos (2 B)+4 \cos (2 A)+5=0$ ．联立以上三式解得 $\displaystyle \cos (2 A)=-\frac{4}{5}, \cos (2 B)=-\frac{3}{5}$, $\cos (2 C)=0$ ，即 $\displaystyle 2 C=\frac{\pi}{2}, C=\frac{\pi}{4}$ 。