东南大学 2022年强基第5题
📝 题目
设圆 $x^{2}+y^{2}=1, P$ 为圆外一点，$P T$ 为圆的一条切线，$B=(2,0), P T=\sqrt{2} P B$ ，则 $P B$ 的最小值为？
💡 答案解析
解：设 $P=(x, y)$ ，由 $P T$ 为圆的一条切线知，$|P T|^{2}=|P O|^{2}-1=x^{2}+y^{2}-1$ ；又 $P T=\sqrt{2} P B$ ，则 $x^{2}+y^{2}-1=2\left((x-2)^{2}+y^{2}\right)$ ，即 $P$ 点轨迹为圆 $C:(x-4)^{2}+y^{2}=7$ ，注意 $B=(2,0)$ 在圆 $C$ 内部，故 $P B$ 的最小值为 $\sqrt{7}-2$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设点P坐标，利用切线长公式表示PT
设P=(x,y)，由PT为圆x²+y²=1的切线，得|PT|²=|PO|²-1=x²+y²-1。
公式：|PT|² = |PO|² - r²
提示：切线长公式：从圆外一点到圆的切线长平方等于该点到圆心距离平方减半径平方。
步骤 2/4
目标：利用PT与PB的关系建立方程
已知PT=√2 PB，即|PT|²=2|PB|²。代入|PT|²=x²+y²-1，|PB|²=(x-2)²+y²，得x²+y²-1=2[(x-2)²+y²]。
公式：x²+y²-1 = 2[(x-2)²+y²]
提示：注意PB是点P到点B(2,0)的距离。
步骤 3/4
目标：化简方程得到P点轨迹
展开并整理：x²+y²-1=2(x²-4x+4+y²) → x²+y²-1=2x²-8x+8+2y² → 0=x²+y²-8x+9 → (x-4)²+y²=7。所以P点轨迹是以C(4,0)为圆心、半径√7的圆。
公式：(x-4)² + y² = 7
提示：配方时注意移项和合并同类项。
步骤 4/4
目标：求PB的最小值
点B(2,0)在圆C内部（因为(2-4)²+0²=4<7），所以PB的最小值为圆C的半径减去圆心到B的距离：√7 - |CB| = √7 - 2。
公式：PB_min = r - d(C,B)
提示：当P位于C与B的连线上且靠近B时取最小值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。