东南大学 2022年强基第6题
📝 题目
设 $x^{2}=e^{x} m$ 有三个零点，求 $m$ 的取值范围。
💡 答案解析
解：设 $f(x)=x^{2} e^{-x}, x \in \mathbb{R}$ ，则条件等价于 $f(x)=m$ 有三个解，由 $f^{\prime}(x)=\left(2 x-x^{2}\right) e^{-x}$ 知，$f$在 $(-\infty, 0)$ 上单调减，在 $(0,2)$ 上单调增，在 $(2,+\infty)$ 上单调减，注意 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, f(0)=0, f(2)=4 e^{-2}, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，故由图像知 $m$ 的取值范围为 $\left(0,4 e^{-2}\right)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将方程转化为函数零点问题
由 x^2 = e^x m 得 x^2 e^{-x} = m，设 f(x)=x^2 e^{-x}，则原方程有三个零点等价于直线 y=m 与曲线 y=f(x) 有三个交点。
公式：x^2 e^{-x} = m
提示：分离参数，将方程转化为函数图像交点问题。
步骤 2/5
目标：求导分析函数单调性
求导得 f'(x) = (2x - x^2) e^{-x} = x(2-x)e^{-x}。令 f'(x)=0 得 x=0 或 x=2。
公式：f'(x) = (2x - x^2) e^{-x}
提示：注意 e^{-x}>0 恒成立，符号由 x(2-x) 决定。
步骤 3/5
目标：确定单调区间
当 x<0 时，f'(x)<0，f 递减；当 00，f 递增；当 x>2 时，f'(x)<0，f 递减。
提示：列表分析符号变化。
步骤 4/5
目标：计算极值和极限
f(0)=0，f(2)=4e^{-2}。当 x→-∞时，f(x)→-∞；当 x→+∞时，f(x)→0。
公式：f(0)=0, f(2)=4e^{-2}
提示：注意极限趋势，画出草图。
步骤 5/5
目标：根据图像确定 m 范围
由单调性和极值可知，f(x) 在 (-∞,0) 从 -∞ 增至 0，在 (0,2) 从 0 增至 4e^{-2}，在 (2,+∞) 从 4e^{-2} 减至 0。要使 y=m 与图像有三个交点，需 m 介于 0 和 4e^{-2} 之间，即 0 < m < 4e^{-2}。
提示：注意端点处交点个数：m=0 或 m=4e^{-2} 时只有两个交点。
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