东南大学 2022年强基第8题
📝 题目
边长为 1 的正五边形的对角线长为？
💡 答案解析
解：注意正五边形的顶角为 $3 \pi / 5$ ，以下只需求腰长为 1 ，顶角为 $3 \pi / 5$ 的等腰三角形的底边长， 由余弦定理知为 $\displaystyle \sqrt{1^{2}+1^{2}-2 \times 1 \times 1 \times \cos \left(\frac{3 \pi}{5}\right)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定正五边形的内角
正五边形的内角公式为 (n-2)*180°/n，代入n=5得内角为108°，即3π/5弧度。
公式：内角 = (n-2)*180°/n
提示：注意角度与弧度的转换
步骤 2/6
目标：将问题转化为求等腰三角形的底边
正五边形的对角线连接两个不相邻顶点，与两条边构成等腰三角形，腰长为1，顶角为内角108°。
提示：画图辅助理解
步骤 3/6
目标：应用余弦定理
在等腰三角形中，底边d满足 d² = 1² + 1² - 2*1*1*cos(108°)。
公式：c² = a² + b² - 2ab cos(C)
提示：余弦定理适用于任意三角形
步骤 4/6
目标：计算cos(108°)
cos(108°) = -cos(72°) = -(√5-1)/4，或直接使用cos(3π/5) = (1-√5)/4。
公式：cos(108°) = (1-√5)/4
提示：利用诱导公式或黄金比例
步骤 5/6
目标：代入并化简
d² = 2 - 2*(1-√5)/4 = 2 - (1-√5)/2 = (4 -1 + √5)/2 = (3+√5)/2。
提示：注意符号和分数运算
步骤 6/6
目标：开方得对角线长
d = √[(3+√5)/2] = (√5+1)/2，因为(√5+1)²/4 = (6+2√5)/4 = (3+√5)/2。
公式：√[(3+√5)/2] = (√5+1)/2
提示：验证平方相等
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