东南大学 2022年强基第9题
📝 题目
设 $a+b+c=0, a b c=40$ ，求 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ ？
💡 答案解析
解：由条件知 $a+b=-c, a b=40 / c$ ，则 $a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b)\left((a+b)^{2}-3 a b\right)+c^{3}=-c\left(c^{2}-120 / c\right)+c^{3}=120$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用已知条件简化表达式
由 a+b+c=0 得 a+b=-c，由 abc=40 得 ab=40/c。
公式：a+b=-c, ab=40/c
提示：将三个变量转化为两个变量，便于代入公式。
步骤 2/4
目标：应用立方和公式
a^3+b^3+c^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3，代入 a+b=-c 得 -c(a^2-ab+b^2)+c^3。
公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
提示：注意符号，a+b=-c 代入时带负号。
步骤 3/4
目标：化简 a^2-ab+b^2
a^2-ab+b^2 = (a+b)^2-3ab = c^2 - 3*(40/c) = c^2 - 120/c。
公式：(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2，所以 a^2-ab+b^2 = (a+b)^2-3ab
提示：利用已知的 a+b 和 ab 值代入。
步骤 4/4
目标：代入并计算
原式 = -c*(c^2 - 120/c) + c^3 = -c^3 + 120 + c^3 = 120。
公式：-c*(c^2 - 120/c) = -c^3 + 120
提示：注意 -c 乘以 -120/c 得 +120。
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