东南大学 2022年强基第10题

解：设 $\left|P_{2} A\right|=x$ ，则 $\left|P_{2} B\right|=2 x$ ，由双曲线定义知，$\left|P_{1} A\right|=x+2 a,\left|P_{1} B\right|=2 x+2 a$ ，由 $\overrightarrow{P_{1} A} \perp \overrightarrow{P_{2} A}$知，$\Delta P_{1} A B$ 为直角三角形；故由勾股定理知，$\left|P_{1} A\right|^{2}+|A B|^{2}=\left|P_{1} B\right|^{2}$ ，即 $(x+2 a)^{2}+(x+2 x)^{2}=(2 x+2 a)^{2}$ ，解得 $\displaystyle x=\frac{2}{3} a$ ，由 $\overline{P_{1} A} \perp \overline{P_{2} A}$ 知，$\Delta P_{1} A P_{2}$ 为直角三角形；故由勾股定理知，$\left|P_{1} A\right|^{2}+\left|A P_{2}\right|^{2}=\left|P_{1} P_{2}\right|^{2}$ ，即 $(x+2 a)^{2}+x^{2}=(2 c)^{2}$ ， 解得离心率 $\displaystyle =\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{17}}{3}$ 。