东南大学 2022年强基第11题
📝 题目
设 $a_{n}\gt 1, a_{n+1}^{2}\gt a_{n} a_{n+2}$ ，记 $x_{n}=\log _{a_{n}} a_{n+1}$ ，证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫。
💡 答案解析
解：由换底公式知 $\displaystyle x_{n}=\frac{\ln a_{n+1}}{\ln a_{n}}\gt 0$ ，记 $b_{n}=\ln a_{n}$ ，则由条件 $b_{1}\gt 0,2 b_{n+1}\gt b_{n} b_{n+2}$ ， 故 $\displaystyle x_{n+1}+\frac{1}{x_{n}}=\frac{b_{n+2}}{b_{n+1}}+\frac{b_{n}}{b_{n+1}}\lt 2$ ，因此 $\displaystyle x_{n+1}-x_{n}\lt 2-\frac{1}{x_{n}}-x_{n} \leq 0$ ，即 $\left\{x_{n}\right\}$ 单调减，又 $\left\{x_{n}\right\}$ 有下界 0 ，故数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将条件转化为对数形式
由换底公式，x_n = ln(a_{n+1}) / ln(a_n)。由于a_n>1，ln(a_n)>0，故x_n>0。令b_n=ln(a_n)，则条件a_{n+1}^2 > a_n a_{n+2}变为2b_{n+1} > b_n + b_{n+2}。
公式：x_n = ln(a_{n+1})/ln(a_n), b_n=ln(a_n)
提示：换底公式和对数性质
步骤 2/4
目标：推导x_{n+1} + 1/x_n < 2
由2b_{n+1} > b_n + b_{n+2}，两边除以b_{n+1}得2 > b_n/b_{n+1} + b_{n+2}/b_{n+1}。而b_n/b_{n+1}=1/x_n，b_{n+2}/b_{n+1}=x_{n+1}，故x_{n+1} + 1/x_n < 2。
公式：x_{n+1} + 1/x_n < 2
提示：利用不等式变形
步骤 3/4
目标：证明数列单调递减
由x_{n+1} + 1/x_n < 2得x_{n+1} - x_n < 2 - x_n - 1/x_n。由于x_n>0，由均值不等式x_n + 1/x_n ≥ 2，故2 - x_n - 1/x_n ≤ 0，因此x_{n+1} - x_n < 0，即{x_n}单调递减。
公式：x_{n+1} - x_n < 2 - x_n - 1/x_n ≤ 0
提示：均值不等式
步骤 4/4
目标：证明数列有下界并收敛
由a_n>1知ln(a_n)>0，故x_n = ln(a_{n+1})/ln(a_n) > 0，即{x_n}有下界0。单调递减且有下界的数列必收敛。
公式：x_n > 0
提示：单调有界准则
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