东南大学 2022年强基第12题
📝 题目
设 $\triangle A B C$ 中，$A B=2, A C=1, \sin B+\cos C=1$ ，则 $B C=$ ？
💡 答案解析
证明：由正弦定理知，$\displaystyle \frac{\sin B}{\sin C}=\frac{A C}{A B}=\frac{1}{2}$ ；又 $\sin B+\cos C=1$ ，则 $1=\sin ^{2} C+\cos ^{2} C=(2 \sin B)^{2}+(1-\sin B)^{2}$ ，解得 $\sin B=0$（舍去）或 $\displaystyle \sin B=\frac{2}{5}$ ，故 $\displaystyle \cos C=\frac{3}{5}, \sin C=\frac{4}{5}$ ，又 $A B\gt A C$ ，则 $\angle C\gt \angle B$ ，故 $\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{21}}{5}$ ，因此 $\displaystyle \sin A=\sin (B+C)=\frac{6+4 \sqrt{21}}{25}$ ，再由正弦定理知，$\displaystyle B C=\frac{\sin A}{\sin B} A C=\frac{3+2 \sqrt{21}}{5}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用正弦定理建立sinB与sinC的关系
由正弦定理，AC/sinB = AB/sinC，代入AB=2，AC=1得sinB/sinC=1/2，即sinC=2sinB。
公式：正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC
提示：注意边角对应关系
步骤 2/7
目标：利用已知条件sinB+cosC=1消元
由sinC=2sinB，且sinB+cosC=1，得cosC=1-sinB。代入sin²C+cos²C=1得(2sinB)²+(1-sinB)²=1。
公式：sin²θ+cos²θ=1
提示：注意cosC用sinB表示
步骤 3/7
目标：解方程求sinB
展开方程：4sin²B+1-2sinB+sin²B=1，整理得5sin²B-2sinB=0，解得sinB=0（舍去）或sinB=2/5。
公式：一元二次方程求解
提示：sinB=0时B=0或π，三角形内角舍去
步骤 4/7
目标：求cosC和sinC
由sinB+cosC=1得cosC=1-2/5=3/5。由sinC=2sinB=4/5，且sin²C+cos²C=1验证成立。
公式：同角三角函数关系
提示：注意sinC为正
步骤 5/7
目标：判断cosB的符号并求值
因为AB>AC，所以∠C>∠B，故B为锐角。cosB=√(1-sin²B)=√(1-4/25)=√21/5。
公式：sin²θ+cos²θ=1
提示：利用大边对大角判断符号
步骤 6/7
目标：求sinA
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=(2/5)*(3/5)+(√21/5)*(4/5)=(6+4√21)/25。
公式：两角和的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
提示：代入数值计算
步骤 7/7
目标：利用正弦定理求BC
由正弦定理，BC/sinA=AC/sinB，所以BC=AC*sinA/sinB=1*((6+4√21)/25)/(2/5)=(3+2√21)/5。
公式：正弦定理：a/sinA = b/sinB
提示：注意化简
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