东南大学 2022年强基第2题
📝 题目
求 $\displaystyle \frac{1-\cos ^{4} \alpha-\sin ^{4} \alpha}{1-\cos ^{6} \alpha-\sin ^{6} \alpha}=$ ？
💡 答案解析
解：注意 $\cos ^{4} \alpha+\sin ^{4} \alpha=\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)^{2}-2 \cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \alpha=1-2 \cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \alpha$ ； $\cos ^{6} \alpha+\sin ^{6} \alpha=\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)\left(\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)^{2}-3 \cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \alpha\right)=1-3 \cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \alpha$ 故原式的值为 $\displaystyle \frac{2}{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简分子
利用恒等式 cos⁴α+sin⁴α = (cos²α+sin²α)² - 2cos²αsin²α = 1 - 2cos²αsin²α，代入分子得 1 - (1 - 2cos²αsin²α) = 2cos²αsin²α。
公式：cos⁴α+sin⁴α = 1 - 2cos²αsin²α
提示：注意 cos²α+sin²α=1
步骤 2/3
目标：化简分母
利用恒等式 cos⁶α+sin⁶α = (cos²α+sin²α)((cos²α+sin²α)² - 3cos²αsin²α) = 1 - 3cos²αsin²α，代入分母得 1 - (1 - 3cos²αsin²α) = 3cos²αsin²α。
公式：cos⁶α+sin⁶α = 1 - 3cos²αsin²α
提示：因式分解 a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
步骤 3/3
目标：计算比值
分子为 2cos²αsin²α，分母为 3cos²αsin²α，约去非零公因式 cos²αsin²α，得 2/3。
公式：原式 = 2cos²αsin²α / (3cos²αsin²α) = 2/3
提示：假设 cosαsinα ≠ 0，否则原式无定义或需单独讨论
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