东南大学 2022年强基第3题
📝 题目
向量 $\displaystyle \vec{b}=\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$ 是怎样由向量 $\vec{a}=(1,1)$ 旋转得到的？
💡 答案解析
解：考虑向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的中点 $\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt{3}}{4}, \frac{3+\sqrt{3}}{4}\right)$ ，则 $\vec{b}$ 是由 $\vec{a}$ 绕中点旋转 $180^{\circ}$ 得到的。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算向量a和b的中点坐标
设向量a=(1,1)，b=((1-√3)/2, (1+√3)/2)，中点坐标为((1+(1-√3)/2)/2, (1+(1+√3)/2)/2) = ((3-√3)/4, (3+√3)/4)。
公式：中点坐标公式：((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
提示：注意分数运算的准确性。
步骤 2/4
目标：验证中点是否在a和b的连线上
中点坐标满足线性关系，实际上任何两点连线上的点都满足，此处中点显然在连线上。
提示：中点一定在两点连线上。
步骤 3/4
目标：判断旋转角度
观察a和b关于中点对称，即b是a绕中点旋转180°得到的。因为中点坐标相同，且向量方向相反。
公式：旋转180°：点(x,y)绕中点(x0,y0)旋转得(2x0-x, 2y0-y)
提示：旋转180°等价于中心对称。
步骤 4/4
目标：验证旋转结果
将a绕中点旋转180°：新坐标=(2*(3-√3)/4 - 1, 2*(3+√3)/4 - 1) = ((3-√3)/2 -1, (3+√3)/2 -1) = ((1-√3)/2, (1+√3)/2) = b。
公式：旋转公式：P' = (2x0 - x, 2y0 - y)
提示：代入计算时注意符号。
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