东南大学 2022年强基第4题
📝 题目
设矩阵 $A, \mathrm{~B}$ 满足 $A B=A B A, A B=A$ ，求证 $A^{3} B=A$ 。
💡 答案解析
证明：由条件知 $A=A B=A B A=A^{2}$ ，则 $A^{2}=A^{3}$ ，故 $A^{3} B=A^{2} B=A B=A$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用已知条件推导A = A^2
由AB = A和AB = ABA，代入得A = ABA。又AB = A，所以A = A·A = A^2。
公式：A = AB = ABA = A^2
提示：注意将AB替换为A，简化表达式。
步骤 2/3
目标：由A = A^2推出A^2 = A^3
由A = A^2，两边左乘A得A^2 = A^3。
公式：A = A^2 ⇒ A^2 = A^3
提示：左乘A时保持等式成立。
步骤 3/3
目标：证明A^3 B = A
由A^3 = A^2，则A^3 B = A^2 B。又由AB = A，得A^2 B = A(AB) = A·A = A^2 = A。
公式：A^3 B = A^2 B = A(AB) = A^2 = A
提示：利用AB = A和A = A^2逐步替换。
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