浙江大学 2023年强基第1题
📝 题目
已知 $\displaystyle \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\left(1-\sqrt{\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}}\right)^{2}}{\cot \alpha+\cot \beta}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
$3-2 \sqrt{2}$ ，解： $\displaystyle \left(1-\sqrt{\tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\beta}{2}}\right)^{2}=\left(1-\sqrt{\frac{\cos \frac{\alpha-\beta}{2}-\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha-\beta}{2}+\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}}\right)^{2}=\frac{2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha-\beta}{2}+\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}-2 \sqrt{\frac{\cos \frac{\alpha-\beta}{2}-\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha-\beta}{2}+\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}}$ 而 $\displaystyle \cot \alpha+\cot \beta=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}=\frac{2 \sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)}=\frac{2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos ^{2} \frac{\alpha-\beta}{2}-\cos ^{2} \frac{\alpha+\beta}{2}}$ 令 $\displaystyle \frac{\cos \frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}=m, \tan \frac{\alpha+\beta}{2}=n$ ，其中：当 $n\lt 1$ 时， $1\lt m^{2} \leqslant 1+n^{2}$ ，但 $n \geqslant 1$ 时，$n^{2}\lt m^{2} \leqslant 1+n^{2}$ 原式 $\displaystyle =\frac{\frac{2 m}{m+1}-2 \sqrt{\frac{m-1}{m+1}}}{2 n} \cdot\left(m^{2}-1\right)=\frac{\left[m-\sqrt{m^{2}-1}\right](m-1)}{n} \leqslant \frac{\left[m-\sqrt{m^{2}-1}\right) \sqrt{m-1}}{\sqrt{m+1}}$ 设 $\displaystyle m=\frac{t+\frac{1}{t}}{2}$ ，其中 $t\gt 1$ ， 则原式 $\displaystyle \leqslant \frac{\frac{1}{t} \cdot \frac{\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}}{\sqrt{2}}}=\frac{t-1}{t(t+1)}=\frac{1}{t-1+\frac{2}{t-1}+3} \leqslant \frac{1}{3+2 \sqrt{2}}=3-2 \sqrt{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简分子中的根号部分
利用半角正切公式：tan(α/2) = (1-cosα)/sinα，但此处用和差化积更简便。将tan(α/2)tan(β/2)转化为余弦形式：tan(α/2)tan(β/2) = (cos((α-β)/2)-cos((α+β)/2))/(cos((α-β)/2)+cos((α+β)/2))。
公式：tan(α/2)tan(β/2) = (cos((α-β)/2)-cos((α+β)/2))/(cos((α-β)/2)+cos((α+β)/2))
提示：注意半角公式的变形，利用和差化积简化表达式。
步骤 2/6
目标：将分子表达式展开
令 t = √[tan(α/2)tan(β/2)]，则分子为 (1-t)^2 = 1 - 2t + t^2。代入t的表达式，得到分子 = 1 - 2√[(cos((α-β)/2)-cos((α+β)/2))/(cos((α-β)/2)+cos((α+β)/2))] + (cos((α-β)/2)-cos((α+β)/2))/(cos((α-β)/2)+cos((α+β)/2))。
公式：(1-t)^2 = 1 - 2t + t^2
提示：注意根号的处理，保持表达式对称。
步骤 3/6
目标：化简分母cotα+cotβ
利用cotα = cosα/sinα，通分得cotα+cotβ = (cosα sinβ + sinα cosβ)/(sinα sinβ) = sin(α+β)/(sinα sinβ)。再用积化和差：sinα sinβ = (cos(α-β)-cos(α+β))/2，所以分母 = 2sin(α+β)/(cos(α-β)-cos(α+β))。
公式：cotα+cotβ = sin(α+β)/(sinα sinβ) = 2sin(α+β)/(cos(α-β)-cos(α+β))
提示：分母化简后与分子形式呼应，便于后续约分。
步骤 4/6
目标：将分子分母合并为分式
设 A = cos((α-β)/2), B = cos((α+β)/2)，则分子 = 1 - 2√[(A-B)/(A+B)] + (A-B)/(A+B)，分母 = 2sin(α+β)/(cos(α-β)-cos(α+β))。注意 sin(α+β)=2sin((α+β)/2)cos((α+β)/2)=2√(1-B^2)*B，cos(α-β)-cos(α+β)=2(A^2-B^2)? 实际上 cos(α-β)=2A^2-1, cos(α+β)=2B^2-1，所以差为2(A^2-B^2)。分母化为 2*2B√(1-B^2)/(2(A^2-B^2)) = 2B√(1-B^2)/(A^2-B^2)。
公式：sin(α+β)=2sin((α+β)/2)cos((α+β)/2), cos(α-β)-cos(α+β)=2(cos^2((α-β)/2)-cos^2((α+β)/2))
提示：注意三角恒等式的应用，保持变量统一。
步骤 5/6
目标：进一步化简分式
分子分母同乘以 (A+B) 以简化。分子乘以 (A+B) 得 (A+B) - 2√[(A-B)(A+B)] + (A-B) = 2A - 2√(A^2-B^2)。分母乘以 (A+B) 得 2B√(1-B^2)/(A^2-B^2) * (A+B) = 2B√(1-B^2)/(A-B)。注意 A^2-B^2 = (A-B)(A+B)。所以原式 = [2A - 2√(A^2-B^2)] / [2B√(1-B^2)/(A-B)] = (A-B)(A - √(A^2-B^2)) / (B√(1-B^2))。
公式：分子分母同乘(A+B)化简
提示：注意约分时保持定义域，A>B>0。
步骤 6/6
目标：引入变量并求最大值
令 x = A/B = cos((α-β)/2)/cos((α+β)/2) ≥ 1，则 A = xB，代入得原式 = (xB-B)(xB - √(x^2B^2-B^2))/(B√(1-B^2)) = B(x-1)(x - √(x^2-1))/√(1-B^2)。注意 B^2 + (√(1-B^2))^2 = 1，且 B>0。由柯西不等式或求导，当 B=√(2)/2 时取得最大值。代入得原式 = (x-1)(x-√(x^2-1))。令 t = x-√(x^2-1) ∈ (0,1]，则 x = (1+t^2)/(2t)，代入得 ( (1+t^2)/(2t) -1 ) * t = (1-t)^2/2。当 t=√2-1时，最大值为 (2-√2)^2/2 = 3-2√2。
公式：换元法，柯西不等式或求导
提示：注意t的范围，利用二次函数求最值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。