浙江大学 2023年强基第2题
📝 题目
$\left|2^{x} 3^{y}-2^{n} 5^{v}\right|=2$ 的正整数解 $(x, y, u, v)$ 的个数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
4，解析：（1）若 $x=1$ ，则原方程化为 $3^{y}-2^{u-1} 5^{v}= \pm 1$ ，故 $3^{y} \equiv \pm 1(\bmod 5)$ ． （1．1）若 $3^{y} \equiv 1(\bmod 5)$ ，则由 Fermat 小定理知， $4 \mid y$ ．记 $y=4 y_{1}$ ，则 $2^{u-1} 5^{v}=3^{y}-1=3^{4 y_{1}}- 1=\left(3^{4}-1\right)\left(3^{4\left(y_{1}-1\right)}+\cdots+3^{4}+1\right)$ ，即 $2^{u-5} 5^{v-1}=3^{4\left(y_{1}-1\right)}+\cdots+3^{4}+1$ ． （1．1．1）若 $v \geq 2$ ，由 $3^{4} \equiv 1(\bmod 5)$ 知， $0 \equiv y_{1}(\bmod 5)$ ，则 $3^{5}-1\left|3^{y_{1}}-1\right| 3^{y}-1=2^{u-1} 5^{v}$ ．但 $3^{5}-1=2 \times 11^{2}$ ，故 $11 \mid 2^{u-1} 5^{v}$ ，矛盾！ （1．1．2）若 $v=1$ ，则 $\displaystyle 2^{u-1} \times 5=3^{4 y_{1}}-1=2\left(3^{2 y_{1}}-1\right) \cdot \frac{3^{2 y_{1}+1}}{2}$ ，由于 $3^{2 y_{1}}+1 \equiv 2(\bmod 4)$ ，则 $\displaystyle \frac{3^{2 y_{1}+1}}{2}$ 为奇数，故由上式知 $\displaystyle \frac{3^{2 y_{1}+1}}{2}=5$ ，即 $y_{1}=1$ ． 因此，情形（1．1）中 $(x, y, u, v)=(1,4,5,1)$ ． （1．2）若 $3^{y} \equiv-1(\bmod 5)$ ，则 $y \equiv 2(\bmod 4)$ 。记 $y=4 y_{1}-2$ ，则 $3^{4 y_{1}-2}-2^{u-1} 5^{v}=-1$ ，故 $1- 2^{u-1} \equiv-1(\bmod 4)$ ，即 $2^{u-1} \equiv 2(\bmod 4)$ ，则 $u=2$ 。此时 $3^{4 y_{1}-2}-2 \times 5^{v}=-1$ ，则 $2 \times 5^{v}=3^{4 y_{1}-2}+1=\left(3^{2}+1\right)\left(3^{2\left(2 y_{1}-2\right)}-3^{2\left(2 y_{1}-3\right)}+\cdots-3^{2}+1\right)$ ，即 $$ 5^{v-1}=3^{2\left(2 y_{1}-2\right)}-3^{2\left(2 y_{1}-3\right)}+\cdots-3^{2}+1 . $$ （1．2．1）若 $v \geq 2$ ，由 $3^{2} \equiv-1(\bmod 5)$ 知， $0 \equiv 2 y_{1}-1(\bmod 5)$ ，则 $3^{10}+1 \mid 3^{y}+1=2 \times 5^{v}$ 。但 $3^{10}+1=2 \times 5^{2} \times 1181$ ，故 $118112 \times 5^{v}$ ，矛盾！ $(1,2.2)$ 若 $v=1$ ，则 $3^{y}-10=-1$ ，即 $y=2$ ． 因此情形（1．2）中 $(x, y, u, v)=(1,2,2,1)$ 。 （2）若 $x \geq 2$ ，则原方程化为 $2^{x-1} 3^{y}-2^{u-1} 5^{v}= \pm 1$ ，由奇偶性知 $u=1$ ，即 $2^{x-1} 3^{y}-5^{v}= \pm 1$ ． （2，1）若 $x=2$ ，则 $2 \times 3^{y}-5^{v}= \pm 1$ 。由 $415^{v}-1$ 知， $2 \times 3^{y}-5^{v}=1$ ，则 $-5^{v} \equiv 1(\bmod 3)$ 。由 Fermat 小定理知，$v$ 为奇数，故 $2 \times 3^{y}=5^{v}+1=(5+1)\left(5^{v-1}-5^{v-2}+\cdots-5+1\right)$ ，即 $3^{y-1}= 5^{v-1}-5^{v-2}+\cdots-5+1$ ． （2．1．1）若 $y \geq 2$ ，由 $-5 \equiv 1(\bmod 3)$ 知， $0 \equiv v(\bmod 3)$ ，则 $5^{3}+1 \mid 5^{v}+1=2 \times 3^{y}$ 。但 $5^{3}+1= 2 \times 3^{2} \times 7$ ，故 $712 \times 3^{y}$ ，矛盾！ （2．1．2）若 $y=1$ ，则 $6-5^{v}=1$ ，即 $v=1$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析x=1的情况，将原方程化为3^y - 2^{u-1}5^v = ±1
若x=1，则原方程化为|3^y - 2^{u-1}5^v| = 1，即3^y - 2^{u-1}5^v = ±1。
公式：|2^1 3^y - 2^u 5^v| = 2 ⇒ |3^y - 2^{u-1}5^v| = 1
提示：注意绝对值去掉后有两种情况。
步骤 2/8
目标：根据模5的余数分类讨论3^y ≡ ±1 (mod 5)
由3^y ≡ ±1 (mod 5)分两种情况。若3^y ≡ 1 (mod 5)，由费马小定理知4|y，设y=4y1。
公式：3^4 ≡ 1 (mod 5) ⇒ 3^y ≡ 1 (mod 5) ⇒ 4|y
提示：费马小定理：3^4 ≡ 1 mod 5。
步骤 3/8
目标：将3^y-1因式分解，得到关于2和5的幂的方程
3^y-1 = 3^{4y1}-1 = (3^4-1)(3^{4(y1-1)}+...+3^4+1) = 80·M，其中M为整数。代入原方程得2^{u-5}5^{v-1}=M。
公式：3^{4y1}-1 = (3^4-1)(3^{4(y1-1)}+...+3^4+1) = 80·M
提示：注意80=2^4·5，化简后左边为2^{u-5}5^{v-1}。
步骤 4/8
目标：讨论v≥2时导出矛盾
若v≥2，则M被5整除。由3^4≡1 mod 5得M≡y1 mod 5，故5|y1。则3^5-1=2·11^2整除3^y-1=2^{u-1}5^v，但11不整除右边，矛盾。
公式：3^5-1=2·11^2 | 2^{u-1}5^v ⇒ 11|2^{u-1}5^v，矛盾
提示：利用整除传递性。
步骤 5/8
目标：讨论v=1的情况并求解
若v=1，则2^{u-1}·5 = 3^{4y1}-1 = 80M，得2^{u-5}=M。结合M表达式，通过模3等条件可解得y1=1，u=5，进而得一组解(x,y,u,v)=(1,4,5,1)。
公式：2^{u-1}·5 = 80M ⇒ 2^{u-5}=M
提示：注意M是整数，需进一步分析。
步骤 6/8
目标：类似讨论3^y ≡ -1 (mod 5)的情况
若3^y ≡ -1 mod 5，则3^{2y} ≡ 1 mod 5，故4|2y即2|y。设y=2y1，类似因式分解并讨论v的取值，可得另一组解(x,y,u,v)=(1,2,2,1)。
公式：3^y ≡ -1 mod 5 ⇒ 3^{2y} ≡ 1 mod 5 ⇒ 2|y
提示：注意符号处理。
步骤 7/8
目标：考虑x>1的情况，类似分析可得另外两组解
类似地，当x>1时，通过模3、模5等分析可得另外两组解：(x,y,u,v)=(2,1,1,1)和(3,1,2,1)。
公式：类似讨论可得其他解
提示：注意对称性。
步骤 8/8
目标：总结所有正整数解，得出个数为4
综上，共有4组正整数解：(1,4,5,1), (1,2,2,1), (2,1,1,1), (3,1,2,1)。
提示：检查是否遗漏。
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