浙江大学 2023年强基第3题
📝 题目
设 $A \bigcup B \bigcup C=\{1,2, \cdots, 20230612\}, A \cap B \cap C=\phi$ ，若满足条件的有序集合组（ $A, B, C$ ）为 $n$个，则十进制下 $n$ 的最后 2 位数是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
36，解析：由 $A \cap B \cap C=\varnothing$ 知， $$ A \cup B \cup C=(A \backslash B \cup C) \sqcup(B \backslash A \cup C) \sqcup(C \backslash B \cup A) \sqcup(A \cap B) \cup(B \cap C) \cup(A \cap C) . $$ 记 $m=20230612$ ，则每个 $[1, m]$ 中的整数都可以恰好属于上述六个集合之一，故满足条件的有序集合组 $(A, B, C)$ 数量为 $n=6^{m}$ 。注意 $6^{7} \equiv 6^{2}(\bmod 100)$ ，则 $\forall k \geq 2,6^{k+5} \equiv 6^{k}(\bmod 100)$ ，故 $n=6^{m} \equiv 6^{2}=36(\bmod 100)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解条件A∪B∪C={1,2,...,20230612}和A∩B∩C=∅
全集有20230612个元素，且三个集合的交集为空，即没有元素同时属于A、B、C。
提示：注意条件限制每个元素不能同时属于三个集合。
步骤 2/6
目标：将全集划分为六个互不相交的区域
根据集合运算，每个元素只能属于以下六种情况之一：仅A、仅B、仅C、仅A∩B、仅B∩C、仅A∩C。这六类互不相交且覆盖全集。
公式：A∪B∪C = (A\B∪C) ⊔ (B\A∪C) ⊔ (C\B∪A) ⊔ (A∩B) ⊔ (B∩C) ⊔ (A∩C)
提示：注意A∩B∩C=∅保证了没有元素同时属于三个集合。
步骤 3/6
目标：确定每个元素的选择方式
对于每个元素，它恰好属于上述六个区域之一，因此有6种选择。由于元素之间独立，总方案数为6的20230612次方。
公式：n = 6^m，其中m=20230612
提示：有序集合组(A,B,C)意味着每个元素的选择决定了它在A,B,C中的归属。
步骤 4/6
目标：计算6^m mod 100
求n的最后两位即求6^m mod 100。观察6的幂模100的周期：6^1=6, 6^2=36, 6^3=216≡16, 6^4=1296≡96, 6^5=7776≡76, 6^6=46656≡56, 6^7=279936≡36，发现从6^2开始周期为5。
公式：6^2≡36, 6^7≡36 mod 100，周期5
提示：验证周期：6^(k+5)≡6^k mod 100 for k≥2。
步骤 5/6
目标：应用周期计算指数20230612 mod 5
20230612除以5余数：20230612 mod 5 = 2（因为末位是2）。由于周期从指数2开始，6^20230612 ≡ 6^(2+5t) ≡ 6^2 = 36 mod 100。
公式：20230612 ≡ 2 mod 5
提示：注意周期起始点：6^2≡36，6^7≡36，所以指数模5余2时结果为36。
步骤 6/6
目标：得出最后两位数字
因此n的最后两位是36。
提示：答案：36
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