浙江大学 2023年强基第4题
📝 题目
2023 支球队参加单循环赛， 2 队一场，胜得 3 分，负得 0 分，平局各加 1 分，赛后各队总分构成 $d=1$ 的等差数列，则最后一名得分的最大值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
2021，解：设最后一名得分为 $x$ ，总共平局数为 $m$ ，则从总分上有等式： $(x+1011) \times 2023=3[1011 \times 2023-m]+2 m$ ，故有：$\displaystyle x=2022-\frac{m}{2023} \leq 2021$ 我们接下来构造，可取等号：我们用 $b_{k}$ 表示倒数第 $k$ 名的平局数，那么构造有： $b_{1}=2, b_{2}=3, b_{3}=1, b_{4}=2, \cdots, b_{2021}=3, b_{2022}=1, b_{2023}=2$ ，即可符合要求 综上所述：最后一名得分最大值为 2021 分。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立总分与平局数的关系
设最后一名得分为x，总平局数为m。所有比赛总场数为C(2023,2)=2023×1011。每场平局贡献2分，非平局贡献3分，总分为3×(2023×1011 - m) + 2m。
公式：总分 = 3×(总场数 - m) + 2m
提示：注意单循环赛总场数为组合数
步骤 2/7
目标：利用等差数列求和表示总分
各队得分构成公差d=1的等差数列，共2023项，首项为x，末项为x+2022。总和为(首项+末项)×项数/2 = (2x+2022)×2023/2 = (x+1011)×2023。
公式：等差数列和 = (首项+末项)×项数/2
提示：公差为1，末项比首项大2022
步骤 3/7
目标：建立等式并化简
由总分相等得：(x+1011)×2023 = 3×(2023×1011 - m) + 2m。化简得：2023x + 2023×1011 = 3×2023×1011 - m，即2023x = 2×2023×1011 - m，所以x = 2022 - m/2023。
公式：x = 2022 - m/2023
提示：注意移项和合并同类项
步骤 4/7
目标：确定x的最大值
由于m是非负整数，且x为整数，m必须是2023的倍数。m最大可能为2023×2022？但需构造可行。由x = 2022 - m/2023，m/2023最小为0，但m=0时x=2022，但需检查可行性。实际上m至少为？由构造知m可取2023，此时x=2021。
公式：x ≤ 2022 - 0 = 2022，但需构造验证
提示：x为整数，m需被2023整除
步骤 5/7
目标：构造平局数实现x=2021
设b_k为倒数第k名的平局数。构造：b1=2, b2=3, b3=1, b4=2, ..., 周期为(2,3,1)循环，共2023项，总和为(2+3+1)×674 + 2 = 6×674+2=4046，即m=4046？但需验证。实际上m=2023×2=4046？不对，应使m=2023，即总平局数为2023。构造需调整。
公式：各队平局数之和 = 2m
提示：注意每场平局贡献两个平局数
步骤 6/7
目标：验证构造可行性
取m=2023，则x=2021。构造各队平局数：让最后一名平2场，倒数第二名平3场，倒数第三名平1场，如此循环，总和为(2+3+1)×674 + 2 = 4046？不对，应为2023×2=4046？实际上总平局数m=2023，则各队平局数之和为2m=4046。上述构造和恰为4046，且每队得分符合等差数列？需验证。
公式：各队得分 = 3×(总场数-平局数) + 平局数 = 3×总场数 - 2×平局数
提示：得分与平局数线性相关
步骤 7/7
目标：确认最大值
由x=2022 - m/2023，m≥0且为整数，x最大当m最小。但m=0时x=2022，但能否实现？若m=0，则所有比赛无平局，各队得分均为3的倍数，但等差数列公差1，不可能全为3的倍数。故m不能为0。最小m=2023，得x=2021，且构造可行，故最大值为2021。
公式：x_max = 2021
提示：注意整数约束和构造可行性
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