浙江大学 2023年强基第5题
📝 题目
已知 $x, y \in N^{*}$ ，且 $x, y \in[1,1897]$ ，且 $\displaystyle \left[\frac{x^{2}}{y}\right]+1$ 为 $x$ 的倍数，则整数对 $(x, y)$ 个数为（ ）。 A． 2898 B． 3793 C． 4686 D． 5133
💡 答案解析
B，解：$\displaystyle \left[\frac{x^{2}}{y}\right]+1=k x \Leftrightarrow \frac{x}{y}\lt k \leqslant \frac{x}{y}+\frac{1}{x}$ ，（或写成：$\displaystyle \frac{x}{k}\lt y \leqslant \frac{x}{k-\frac{1}{x}}$ ） （1）$x=1$ 时，$y$ 可以取任意正整数，$(x, y)$ 个数为 1897 （2）对于 $x \geqslant 2$ 时，我们从 $\displaystyle \frac{x}{y}\lt k \leqslant \frac{x}{y}+\frac{1}{x}$ 考虑，首先可以排除 $y \leqslant x$ ，在此基础上我们可确定：$y \geqslant x+1$同时，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{1}{x} \geqslant 1$ ，即 $\displaystyle y \leqslant \frac{x^{2}}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$ 所以：$x=2$ 时，$(x, y) 2$ 个， $1896 \geqslant x \geqslant 3$ 时，都一个 总数 $=1897+2+1894=3793$ ，答案选B。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将条件转化为不等式
设 [x²/y] + 1 = kx，则 k 为正整数。由取整性质得 kx - 1 < x²/y ≤ kx，即 x²/y ≤ kx < x²/y + 1，整理得 x/y < k ≤ x/y + 1/x。
公式：x/y < k ≤ x/y + 1/x
提示：注意取整不等式方向
步骤 2/5
目标：分类讨论 x=1 的情况
当 x=1 时，不等式为 1/y < k ≤ 1/y + 1，对任意 y∈[1,1897] 存在 k=1 满足，故 (1,y) 有 1897 个。
提示：x=1 时 k 恒为 1
步骤 3/5
目标：分析 x≥2 时 y 的范围
由 x/y < k 且 k 为正整数，得 y > x/k，又 k ≤ x/y + 1/x，结合 y 整数，可推出 y ≥ x+1。同时由 k≥1 得 x/y + 1/x ≥ 1，即 y ≤ x²/(x-1) = x+1 + 1/(x-1)。
公式：x+1 ≤ y ≤ x+1 + 1/(x-1)
提示：注意 y 为整数
步骤 4/5
目标：确定 x≥2 时 y 的可能取值
当 x=2 时，y 范围 3 ≤ y ≤ 3+1=4，即 y=3,4，共 2 个。当 x≥3 时，y 范围 x+1 ≤ y ≤ x+1（因为 1/(x-1)<1），唯一 y=x+1，共 1 个。
提示：x≥3 时 y 唯一
步骤 5/5
目标：计算总个数
x=1 有 1897 个；x=2 有 2 个；x=3 到 1897 共 1895 个 x，每个 1 个，共 1895 个。总和 1897+2+1895=3794？注意 x 范围 1 到 1897，x≥3 时 x 从 3 到 1897 共 1895 个，但题目中 x=1897 时 y=1898 超出范围？检查：y≤1897，x=1897 时 y=x+1=1898 超出，故 x=1897 无解。实际 x≥3 且 x≤1896 共 1894 个。总数 1897+2+1894=3793。
提示：注意 y 上限 1897
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。