浙江大学 2023年强基第6题

6，解析：连接 $O B, O C$ ．由于 $\displaystyle \angle O B K+\angle O C L=\frac{1}{2}(\angle A B C+\angle B C D)=\frac{1}{2}(2 \pi-\angle B K L-\angle C L K)= \frac{1}{2}(2 \pi-2 \angle B K L)=\pi-\angle B K L=\angle O B K+\angle B O K$ ，则 $\angle O C L=\angle B O K$ ．又 $\angle B K L=\angle C L K$ ，故 $\triangle B K O \sim \triangle O L C$ ，因此 $\displaystyle \frac{K O}{L C}=\frac{B K}{O L}$ ．同理知 $\displaystyle \frac{L O}{K A}=\frac{D L}{O K}$ ．两式比较知 $L C \cdot B K=K A \cdot D L$ ，另一方面，由正弦定理知，$\displaystyle \frac{B K}{B N}=\frac{\sin \angle B N K}{\sin \angle B K N}=\frac{\sin \angle D N L}{\sin \angle D L K}=\frac{D L}{D N} ; \frac{C L}{C M}=\frac{\sin \angle C M L}{\sin \angle C L M}=\frac{\sin \angle A M K}{\sin \angle A K M}=\frac{A K}{A M}$ ．三式比较知，$\displaystyle \frac{A M}{C M}=\frac{B N}{D N}$ ，故代入条件知 $D N=6$ 。