浙江大学 2023年强基第7题

C，解析：设等差数列 $\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，则 $a_{i}=a_{1}+(i-1) d, i=1,2, \cdots, n$ ，故 $$ \begin{gathered} \sum_{i=1}^{n} i a_{i}=\sum_{i=1}^{n} i\left(a_{1}+(i-1) d\right)=\left(a_{1}-d\right) \sum_{i=1}^{n} i+d \sum_{i=1}^{n} i^{2} \\ =\left(a_{1}-d\right) \cdot \frac{n(n+1)}{2}+d \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}=\frac{n(n+1)}{2}\left(\left(a_{1}-d\right)+d \cdot \frac{2 n+1}{3}\right) . \end{gathered} $$ 此时条件 $\sum_{i=1}^{n} i a_{i} \in Q$ 等价于 $\displaystyle a_{1}+d \cdot \frac{2(n-1)}{3} \in Q$ ，当 $3 \mid n-1$ 时，$\displaystyle \frac{2(n-1)}{3} \in\{0,1, \cdots, n-1\}$ ，则 $\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}$ 中有一个有理数；当 $3 \nmid n-1$ 时，可选取 $a_{1}, d \in R \backslash Q$ 使得 $\displaystyle a_{1}+d \cdot \frac{2(n-1)}{3} \in Q$ ，此时 $\displaystyle a_{i}=\left(a_{1}+d \cdot \frac{2(n-1)}{3}\right)+\left(i-\frac{2 n+1}{3}\right) d \in R \backslash Q(i=1, \cdots, n)$ ．因此选 $\mathrm{C}_{\alpha}$