浙江大学 2023年强基第8题

503，解析：（1）若 $n=2 k\left(k \geq 2, k \in \mathbb{N}^{*}\right)$ ，设各顶点为 $A_{1}, \cdots, A_{2 k}$ ．先设 $A_{1}$ 为该钝角三角形的钝角 顶点，则该三角形的另外两个顶点位于线段 $A_{1} A_{k+1}$ 的两侧．若其中一个顶点为 $A_{i}(2 \leq i \leq k)$ ，则另一个顶点为 $A_{j}(i+k+1 \leq j \leq 2 k)$ ，故形如 $\Delta A_{1} A_{i} A_{j}$ 可构成 $\displaystyle \sum_{i=2}^{k}(k-i)=\frac{(k-1)(k-2)}{2}$ 个钝角三角形．因此任取 3 点构成钝角三角形的概率为 $\displaystyle \frac{2 k \times \frac{(k-1)(k-2)}{2}}{\binom{2 k}{3}}=\frac{3(k-2)}{2(2 k-1)}=\frac{93}{125}$ ，解得 $k=188$ ，即 $n=376$ ． （2）若 $n=2 k+1\left(k \in \mathbb{N}^{*}\right)$ ，设各顶点为 $A_{1}, \cdots, A_{2 k+1}$ ．先设 $A_{1}$ 为该钝角三角形的钝角顶点，过点 $A_{1}$作该正 $n$ 边形的外接圆的直径，则该三角形的另外两个顶点位于该直径的两侧．若其中一个顶点为 $A_{i}(2 \leq i \leq k+1)$ ，则另一个顶点为 $A_{j}(i+k+1 \leq j \leq 2 k+1)$ ，故形如 $\triangle A_{1} A_{i} A_{j}$ 可构成 $\displaystyle \sum_{i=2}^{k+1}(k- i+1)=\frac{k(k-1)}{2}$ 个钝角三角形．因此任取 3 点构成钝角三角形的概率为 $\displaystyle \frac{(2 k+1) \times \frac{k(k-1)}{2}}{\binom{2 k+1}{3}}=\frac{3(k-1)}{2(2 k-1)}=\frac{93}{125}$ ，解得 $k=63$ ，即 $n=127$ 。 综上所述，$n$ 的可能值的和为 $376+127=503$ ．