浙江大学 2023年强基第9题

2，解析：设线段 $F A$ 与 $x$ 轴正方向的逆时针夹角为 $\theta \in[0,2 \pi)$ ．记 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ ，则由椭圆的第二定义知，$\displaystyle |F A|=\frac{b^{2}}{a+c \cos \theta},|F C|=\frac{b^{2}}{a-c \cos \theta}$ ，故 $\displaystyle |A C|=|F A|+|F C|=\frac{2 a b^{2}}{a^{2}-c^{2} \cos ^{2} \theta}$ ；同理知 $\displaystyle |B D|=\frac{2 a b^{2}}{a^{2}-c^{2} \sin ^{2} \theta}$ ．因此 $\displaystyle S_{A B C D}=\frac{1}{2}|A C| \cdot|B D|=\frac{2 a^{2} b^{4}}{\left(a^{2}-\frac{1}{2} c^{2}\right)^{2}-\frac{1}{4} c^{4} \cos ^{2}(2 \theta)} \in\left[\frac{2 a^{2} b^{4}}{\left(a^{2}-\frac{1}{2} c^{2}\right)^{2}}, \frac{2 a^{2} b^{4}}{\left(a^{2}-\frac{1}{2} c^{2}\right)^{2}-\frac{1}{4} c^{4}}\right]$ ．代入 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\frac{2 a^{2} b^{4}}{\left(a^{2} \frac{1}{2} c^{2}\right)^{2}}=8 \\ \frac{2 a^{2} b^{4}}{\left(a^{2}-\frac{1}{2} c^{2}\right)^{2}-\frac{1}{4} c^{4}}=\frac{25}{2}\end{array}\right.$ 解得 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a=5 \\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.$ ，故 $\displaystyle \frac{a}{b}=2$ 。