浙江大学 2023年强基第10题

-4 ．解析：注意 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}-4 x-28 \sqrt{x-1}+61}\right)^{2}-\frac{61}{2}$ ，其中 $$ x+\sqrt{x^{2}-4 x-28 \sqrt{x-1}+61}=\sqrt{(x-2)^{2}+(2 \sqrt{x-1}-0)^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(2 \sqrt{x-1}-7)^{2}} $$ 记 $y=2 \sqrt{x-1}(x \geq 1)$ ，则 $(x, y)$ 的轨迹是抛物线的一半 $y^{2}=4(x-1)(x \geq 1, y \geq 0)$ ，上式为该抛物线上的点到两点 $(2,0)$ 与 $(4,7)$ 的距离之和．由于这两点位于该抛物线两侧，则该距离之和取到最小值当且仅当该抛物线上的点 $(x, y)$ 与两点 $(2,0)$ 与 $(4,7)$ 共线，即 $\displaystyle x=\frac{106+4 \sqrt{53}}{49}$ ，此时上式的最小值为 $\sqrt{(4-2)^{2}+(7-0)^{2}}=\sqrt{53}$ ，故 $f$ 的最小值为 -4 。