浙江大学 2023年强基第11题
📝 题目
设复数 $a, b, c$ 有 $|a|^{2}+|b|^{2}+|c|^{2}=1$ ，则 $\left|a b\left(a^{2}-b^{2}\right)+b c\left(b^{2}-c^{2}\right)+c a\left(c^{2}-a^{2}\right)\right|$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
$\displaystyle \frac{9}{16}$ ，解： $\left|a b\left(a^{2}-b^{2}\right)+b c\left(b^{2}-c^{2}\right)+c a\left(c^{2}-a^{2}\right)\right|=|(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)|$ $\displaystyle \leqslant|a-b|\left[|c|^{2}+\frac{|a|^{2}+|b|^{2}+|a+b|^{2}}{3}\right]^{\frac{3}{2}}=|a-b|\left[\frac{3-2|a|^{2}+2|b|^{2}+|a+b|^{2}}{3}\right]^{\frac{3}{2}}$ $\displaystyle =|a-b|\left[\frac{3-|a-b|^{2}}{3}\right]^{\frac{3}{2}} \leqslant \frac{9}{16},|a-b|^{2}=\frac{3}{4}$ 且 $|(b-c)|=|a-c|=|(a+b+c)|$ 备注：$\triangle A B C$ 重心为 $G$ ，动点 $P$ 在以 $G$ 为圆心，半径为 $R$ 上的圆运动时，有： $\displaystyle P A^{2}+P B^{2}+P C^{2}=3 R^{2}+G A^{2}+G B^{2}+G C^{2} \geqslant 3(P A \cdot P B \cdot P C)^{\frac{2}{3}}$ $a b\left(a^{2}-b^{2}\right)+b c\left(b^{2}-c^{2}\right)+c a\left(c^{2}-a^{2}\right)=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简表达式
将原式因式分解为|(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)|。
公式：ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2) = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)
提示：利用对称性进行因式分解。
步骤 2/4
目标：应用不等式放缩
利用|(a-b)(b-c)(a-c)| ≤ |a-b| * (|c|^2 + (|a|^2+|b|^2+|a+b|^2)/3)^{3/2}，通过均值不等式得到。
公式：|(a-b)(b-c)(a-c)| ≤ |a-b| * (|c|^2 + (|a|^2+|b|^2+|a+b|^2)/3)^{3/2}
提示：注意使用柯西不等式或均值不等式。
步骤 3/4
目标：利用条件化简
由|a|^2+|b|^2+|c|^2=1，代入得|a-b| * ((3 - |a-b|^2)/3)^{3/2}。
公式：|c|^2 + (|a|^2+|b|^2+|a+b|^2)/3 = (3 - |a-b|^2)/3
提示：注意|a+b|^2 = |a|^2+|b|^2+2Re(a\bar{b})，结合条件化简。
步骤 4/4
目标：求最大值
设t=|a-b|^2，则表达式为t^{1/2} * ((3-t)/3)^{3/2}，求导得最大值在t=3/4时取到，值为9/16。
公式：f(t)=t^{1/2} * ((3-t)/3)^{3/2}, 最大值9/16
提示：利用导数或均值不等式求最值。
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