浙江大学 2023年强基第14题

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，解：因为 $\displaystyle \frac{\tan 66^{\circ}}{\tan 12^{\circ}}-1=\frac{\sin 66^{\circ} \cos 12^{\circ}}{\cos 66^{\circ} \sin 12^{\circ}}-1=\frac{\sin 54^{\circ}}{\cos 66^{\circ} \sin 12^{\circ}}=\frac{\sin 54^{\circ}}{\cos 72^{\circ}+\frac{1}{2}} \frac{1}{\sin 6^{\circ}}=\frac{1}{\sin 6}$ 其中 $\displaystyle \cos 36^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ ，故： $\displaystyle \tan 12^{\circ}\left(1+\frac{1}{\sin 6^{\circ}}\right)=\tan 66^{\circ}$ ，依此得； 原式 $\displaystyle =\tan \left(96^{\circ}-66^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。