浙江大学 2023年强基第15题

-4 ，解析：由递推关系取倒数知，$\displaystyle \frac{1}{x_{n+1}}=2 x_{n}+\frac{1}{x_{n}}$ ；平方得 $\displaystyle \frac{1}{x_{n+1}^{2}}=4 x_{n}^{2}+\frac{1}{x_{n}^{2}}+4$ ．因此累加得 $\displaystyle \frac{1}{x_{n}^{2}}=4 \sum_{i=1}^{n-1} x_{i}^{2}+\frac{1}{x_{1}^{2}}+4(n-1)=4 \sum_{i=1}^{n-1} x_{i}^{2}+(4 n-3) \geq 4 n-3$ ，即 $\displaystyle x_{n}^{2} \leq \frac{1}{4 n-3}$ ，等号取到当且仅当 $n=1$ ．另一方面，当 $n \geq 2$ 且 $n \in \mathbb{N}^{*}$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x_{n}^{2}}=4 \sum_{i=1}^{n-1} x_{i}^{2}+(4 n-3) \leq 4 \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{4 i-3}+(4 n-3) \leq 4+ \int_{1}^{n-1} \frac{d x}{x-\frac{3}{4}}+(4 n-3)=\ln (4 n-7)+(4 n+1)$ ，即 $\displaystyle x_{n}^{2} \geq \frac{1}{\ln (4 n-7)+(4 n+1)}$ ，等号取到当且仅当 $n=2$ 。因此 $\displaystyle 10^{-4}\lt \frac{1}{\ln 8085+8093}\lt x_{2023}^{2}\lt \frac{1}{8089}\lt 10^{-3}$ ，即 $\left[2 \lg x_{2023}\right]=(-4)$ 。