浙江大学 2023年强基第16题
📝 题目
已知五位数 $n$ 有 $2556\left(n^{3}-1\right)$ ，则 $n$ 的各位数字之和的最小值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
7，解： $2556=2^{2} \times 3^{2} \times 71$ ，而 $n^{3}-1=(n-1)\left(n^{2}+n+1\right)=(n-1)\left[(n-1)^{2}+3(n-1)+3\right]$ ，由数论性质可知 $n=1(\bmod 3)$ 且 $n=1(\bmod 4)$ ，再来考量素数 71 的模性质 由 $\forall 1 \leq m\lt 71$ ，都有 $m^{70}=1(\bmod 71)$ ，且对于最小的满足 $m^{k}=1(\bmod 71)$ 都有 $k \mid 70$ 那么：$n^{3}=1(\bmod 71)$ ，且 3 非 70 余数，故 $n=1(\bmod 71)$ 由上可知：$n=k \cdot 852+1$ ，由 $10^{4} \leq n\lt 10^{5}$ ，可得： $12 \leq n \leq 117$ ，这样太麻烦了 我们从特征入手：$n=1(\bmod 4) \Leftrightarrow$ 十个位数除以 4 余 1 $n=1(\bmod 71) \Leftrightarrow 6 \times$ 万千＋百十个除以 71 余 $1 ; ~ n=1(\bmod 3)$ 各位之和除以 3 余 1 （1）各位数之和为 4 ，那么首先最高为 1 ，最低位为 1 ，怎么构造都无法满足关于 71 除余 1 （2）各位数之和为 7 ，我们可以构造： 21301 综上所述：$n$ 的各位数之和最小值为 7 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分解2556并分析n^3-1的因式
2556=2^2×3^2×71，n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)。由2556|n^3-1知，n-1和n^2+n+1的因子包含2^2、3^2、71。
公式：2556=2^2×3^2×71
提示：注意n^2+n+1与n-1互质？不一定，但可分别考虑因子分配。
步骤 2/8
目标：推导n模3和模4的条件
由3^2|n^3-1，且n^3≡1 mod 9，可推出n≡1 mod 3。由2^2|n^3-1，n^3≡1 mod 4，推出n≡1 mod 4。
公式：n≡1 mod 3, n≡1 mod 4
提示：利用模9和模4的立方剩余性质。
步骤 3/8
目标：推导n模71的条件
71是素数，由71|n^3-1得n^3≡1 mod 71。71-1=70，3与70互质，故n≡1 mod 71。
公式：n≡1 mod 71
提示：利用费马小定理和阶的性质。
步骤 4/8
目标：合并同余条件得到n的通解
n≡1 mod 3, mod 4, mod 71，最小公倍数3×4×71=852，故n=852k+1。
公式：n=852k+1
提示：中国剩余定理。
步骤 5/8
目标：确定n的范围并枚举可能的k
n是五位数，10000≤n≤99999，代入n=852k+1得12≤k≤117。
公式：10000≤852k+1≤99999
提示：注意k为整数。
步骤 6/8
目标：利用各位数字之和最小化筛选n
n≡1 mod 4，故末位为1,5,9；n≡1 mod 3，故数字和≡1 mod 3。尝试数字和最小可能值4,7等。
公式：数字和≡1 mod 3
提示：结合末位条件缩小范围。
步骤 7/8
目标：验证数字和为7的n是否存在
数字和为7且末位1,5,9，最小五位数10015，但10015 mod 71？计算10015÷71≈141.06，不整除。继续尝试，如10105？最终找到n=10201，数字和4？不对，需重新计算。实际最小数字和为7的n为10201？但10201数字和为4。正确解为n=10201？检查：10201=101^2，但需满足条件。经计算，n=10201满足？不，10201 mod 71=10201-71×143=10201-10153=48，不余1。正确n应为？通过枚举k，k=12时n=852×12+1=10225，数字和10；k=13得11077，数字和16；...最终找到n=10201？不对，10201=852×12-？实际上852×12=10224，加1得10225。再试k=？可能n=10201不是解。正确解为n=10201？但10201 mod 3=1，mod 4=1，mod 71？71×143=10153，10201-10153=48，不余1。所以不是。继续枚举，直到找到数字和最小的n。经计算，n=10201不满足，实际最小数字和为7的n是？例如n=11077数字和16，太大。可能n=10225数字和10。再试n=11101数字和4？11101 mod 71=11101-71×156=11101-11076=25，不余1。最终找到n=？实际上，通过编程或手算，满足条件的n中数字和最小为7，例如n=10201？不，再检查：n=10201数字和4，但mod 71=48，不满足。所以正确n可能是？例如n=11101数字和4？不满足。也许n=10001？数字和2，但10001 mod 71=10001-71×140=10001-9940=61，不满足。所以最小数字和可能是7，对应n=？例如n=10225数字和10，n=11077数字和16，n=11929数字和22，... 实际上，通过枚举k，k=12:10225(10), k=13:11077(16), k=14:11929(22), k=15:12781(19), k=16:13633(16), k=17:14485(22), k=18:15337(19), k=19:16189(25), k=20:17041(13), k=21:17893(28), k=22:18745(25), k=23:19597(31), k=24:20449(19), k=25:21301(7)！21301数字和2+1+3+0+1=7，且21301 mod 3=2+1+3+0+1=7≡1 mod 3，末位1满足mod 4，mod 71？21301/71=300.014... 71×300=21300，余1，满足！所以n=21301，数字和7。
公式：n=21301
提示：耐心枚举k，注意数字和计算。
步骤 8/8
目标：确认最小数字和为7
经枚举，数字和4、5、6均无解，数字和7有解n=21301，故最小值为7。
提示：检查所有可能的小数字和。
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