浙江大学 2023年强基第17题

$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ，解析：记 $\displaystyle a_{m}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{m} \sin x d x, b_{m}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{m} \cos x d x(m \in N)$ ，则分部积分知，$a_{m}=m b_{m-1}$ ； $\displaystyle b_{m}=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{m}-m a_{m-1}\left(m \in \mathbb{N}^{*}\right)$ ，故递推公式为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a_{m}+m(m-1) a_{m-2}=m\left(\frac{\pi}{2}\right)^{m-1} \\ b_{m}+m(m-1) b_{m-2}=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{m}\end{array}\right.$ ，由此可解得 $\displaystyle \left\{\begin{aligned} a_{m} & =\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{i} m!}{(m-2 i-1)!} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{m-2 i-1} \\ b_{m} & =\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{i} m!}{(m-2 i)!} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^{m-2 i}\end{aligned}\right.$ ，故 $\displaystyle L=\lim _{m \rightarrow+\infty} \frac{m^{c} a_{m}}{b_{m}}=\frac{2}{\pi} \cdot \lim _{m \rightarrow+\infty} m^{C+1}$ 。由 $L \in R \backslash\{0\}$ 知，$C=-1$, 故 $\displaystyle L=\frac{2}{\pi}$ 。