浙江大学 2023年强基第18题

2，解析：当 $n=1$ 时，$a_{1}^{2} b_{1}^{2}-\left(a_{1} b_{1}\right)^{2}=0 \neq 1$ ，矛盾；当 $n \geq 2$ 时，由 Lagrange 恒等式知， $n=\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2}=\sum_{1 \leq i\lt j \leq n}\left(a_{i} b_{j}-a_{j} b_{i}\right)^{2}$ ．特别地，当 $n=2$ 时可知矛盾：当 $n=3$ 时，取 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=(1,1,2),\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)=(2,3,5)$ 即可；当 $n=4$ 时，取 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right) =(1,1,2,2),\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)=(2,2,3,3)$ 即可．以下证明 $n \geq 5$ 时矛盾． 当 $n \geq 5$ 时，通过重排序号，在既约分数 $\displaystyle \frac{a_{i}}{b_{i}}(1 \leq i \leq n)$ 中，设不同的分数为 $\displaystyle \frac{a_{1}}{b_{1}}, \cdots, \frac{a_{k}}{b_{k}}$ ，且出现的次数分别为 $m_{1} \leq \cdots \leq m_{k}$ ，则 $\sum_{i=1}^{k} m_{i}=n$ ，故 $\forall i=1, \cdots, k, m_{i} \leq n-k+1$ ．因此由 $\sum_{i=1}^{k}\left(m_{i}-\right.$ 1）$\left(m_{i}-n+k-1\right) \leq 0$ 得，$\sum_{i=1}^{k} m_{i}^{2} \leq k^{2}-(2 n+1) k+\left(n^{2}+2 n\right)$ ，故 $$ \begin{gathered} \sum_{1 \leq i\lt j \leq n}\left(a_{i} b_{j}-a_{j} b_{i}\right)^{2}=\sum_{1 \leq i\lt j \leq n} b_{i}^{2} b_{j}^{2}\left(\frac{a_{i}}{b_{i}}-\frac{a_{j}}{b_{j}}\right)^{2} \geq \sum_{i=1}^{k} \frac{m_{i}\left(n-m_{i}\right)}{2}=\frac{n^{2}-\sum_{i=1}^{k} m_{i}^{2}}{2} \\ \geq \frac{-k^{2}+(2 n+1) k-2 n}{2} \end{gathered} $$ （1）若 $k=1$ ，则 $\displaystyle \sum_{1 \leq in$ ，矛盾！ （2．2）若 $m_{1}=1$ ，则 $\Sigma_{1 \leq in$ ，矛盾！ 综上所述，$n$ 的个数为 2 ．