浙江大学 2023年强基第20题
📝 题目
已知多项式 $f_{n}(x)(\mathrm{n} \geq 0)$ ，满足 $f_{0}(x)=1$ ，当 $n \geq 0$ 时，$f_{n}(0)=0$ 且 $\displaystyle \frac{d f_{n+1}(x)}{d x}=(n+1) f_{n}(x)$ ，求十进制下 $f_{100}(2023)$ 的最后 2 位数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
01 ，解析：对 $n$ 归纳易知，$f_{n}(x)=x^{n}(n \geq 0)$ ，则 $f_{100}(2023)=2023^{100} \equiv 3^{100}=(10-1)^{50} \equiv 1(\bmod 100)$ ，即十进制下 $f_{100}(2023)$ 的最后 2 位数为 $(01)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：推导f_n(x)的表达式
由f_0(x)=1，且f_{n+1}'(x)=(n+1)f_n(x)，对n归纳：假设f_n(x)=x^n，则f_{n+1}'(x)=(n+1)x^n，积分得f_{n+1}(x)=x^{n+1}+C，由f_{n+1}(0)=0得C=0，故f_{n+1}(x)=x^{n+1}。因此f_n(x)=x^n。
公式：f_n(x)=x^n
提示：注意初始条件和积分常数由f_n(0)=0确定。
步骤 2/6
目标：将问题转化为求2023^100 mod 100
由f_n(x)=x^n，得f_{100}(2023)=2023^{100}。求最后两位即模100，故计算2023^{100} mod 100。
公式：2023^{100} mod 100
提示：最后两位即模100的余数。
步骤 3/6
目标：简化底数模100
2023 ≡ 23 (mod 100)，但23^100计算复杂。注意到2023 ≡ 3 (mod 20)，但模100需更精细。实际上2023 ≡ 23 (mod 100)，但23=20+3，可用二项式定理。更简单：2023 ≡ 3 (mod 10)，但模100需考虑。直接2023 ≡ 23 (mod 100)，而23^100 mod 100可计算。
公式：2023 ≡ 23 (mod 100)
提示：模100时，2023=20*100+23，故余23。
步骤 4/6
目标：计算23^100 mod 100
23^100 = (20+3)^100，展开后除最后一项3^100外，其余项均含因子20，故模100等价于3^100 mod 100。因为20的倍数模100为0，但需注意20*3^99项有20因子，模100为0？实际上(20+3)^100 = ΣC(100,k)20^k 3^(100-k)，当k≥2时20^k能被100整除，k=1时项为100*20*3^99=2000*3^99，模100为0，故仅k=0项3^100贡献。
公式：23^100 ≡ 3^100 (mod 100)
提示：二项式展开，除k=0项外均被100整除。
步骤 5/6
目标：计算3^100 mod 100
3^100 = (3^2)^50 = 9^50 = (10-1)^50。展开(10-1)^50 = ΣC(50,k)10^k (-1)^(50-k)，当k≥2时10^k能被100整除，k=1项为50*10*(-1)^49 = -500 ≡ 0 mod 100，k=0项为(-1)^50=1。故3^100 ≡ 1 (mod 100)。
公式：3^100 ≡ 1 (mod 100)
提示：利用(10-1)^50二项式展开，仅常数项贡献。
步骤 6/6
目标：得出最后两位数字
由上述推导，2023^100 ≡ 1 (mod 100)，故最后两位为01。
公式：f_{100}(2023) ≡ 1 (mod 100)
提示：注意01表示十位为0，个位为1。
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