浙江大学 2023年强基第21题

1解析；设将一个边长为 $l$ 的大正六边形分成若干边与大正六边形的边平行且边长为 1 的正三角形后，这些正三角形顶点所能构成的小正六边形数量为 $a_{l}$ 。对于这些小正六边形，考虑如下的性质 $P_{l}$ ：对于该小正六边形的任意边，都存在大正六边形的某条边，使得这两条边平行或重合．进一步地，满足性质 $P_{l}$ 且边长为 $k(1 \leq k \leq l)$ 的小正六边形称为满足性质 $P_{l, k}$ 。记满足性质 $P_{l, k}$ 的小正六边形的数量为 $b_{l, k}$ ，则 $b_{k, k}=1$ ，且 $b_{l, k}=b_{l-1, k}+6(l-k)(l\gt k)$ ，故可求得 $b_{l, k}=1+3(l-k)(l-k+1)$ ．另外，任意不满足性质 $P_{l}$ 的小正六边形，必唯一地内接于某个满足性质 $P_{l}$ 的小正六边形；而对于每个满足性质 $P_{l, k}$ 的小正六边形，它的内接正六边形的数量为 $k$ ．于是 $\displaystyle a_{l}=\sum_{k=1}^{l} k \cdot b_{l, k}=\sum_{k=1}^{l} k(1+ 3(l-k)(l-k+1))=\frac{l^{2}(l+1)^{2}}{4}$ ，故 $\displaystyle n=a_{126}=\frac{126^{2} \times 127^{2}}{4}=63^{2} \times 127^{2} \equiv 3^{2} \times 7^{2} \equiv 1(\bmod 10)$ ，即十进制下 $n$ 的末位数是 1 。